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考点23两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用1. (2010某某高考文科6)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()65565432(A)56(B)65(C)(D)654322【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查考生的逻辑推理能力.【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座,故6名同学的安排可分6步进行,每步均有5种选择,由分步计数原理即可得出答案【规X解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座,故6名同学的安排可分6步进行,每步均有5种选择,因此共有56种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座,故每位同学的选择都有5种,共有56种不同选法若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”,它就是一个典型的不同元素的分组问题利用“先分堆,再分配”的思想将6名同学分为5堆,再分给5个不同的讲座,种不同选法2. (2010某某高考理科8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某某世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是()(A)152(B)126(C)90(D54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查排列、组合知识的应用,考查考生的运算求解能力.【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作知,司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类:司机只安排1人;司机安排2人,然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规X解答】选B.当司机只安排1人时,有C;C:a3=108(种);当司机安排2人时有C3A3=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加,因此属于不同元素的分组问题,解题时往往采用“先分堆,再分配”的办法若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制,则甲、乙二人各有3种选择,丙、丁、戊各有4种选择,因此共有33444576(种)安排方案3. (2010全国高考卷n理科6)将标号为1,2,3,4,5,6的6X卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2X,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决,先从3个信封中选取一个放入标号为1,2的2X卡片,然后剩余的2个信封分别放入2X卡片.【规X解答】选B.标号为1,2的卡片放法有A;种,其他卡片放法有C:C;种,所以共有a3C:C;=18(种).【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法4. (2010全国卷I理科6)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题,能否结合具体问题确定恰当的分类标准,突出考查分类讨论的数学思想【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类,也可采用间接法利用对立事件解决事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A和全部选修B”.【规X解答】选A方法一:可分以下2种情况:A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C:种不同的21选法;A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C3C4种不同的选法.所以不同的选法共有c3c:+c;c4181230(种).方法二:事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A和全部选修B”,两类课程中各至少选一门的种数为C;c3C4330(种).【方法技巧】排列与组合的应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决这类问题通常有三种途径:(1) 以元素为主考虑,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置(3) 先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法.5. (2010某某高考文科9)由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的5位数的个数是()(A)36(B)32(C)28(D)24【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题,考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.【思路点拨】先排5,再排1,2.分两类:5在两端,1,2有三个位置可选择;5不在两端,1,2有两个位置可选择.22【规X解答】选A.如果5在两端,则1,2有三个位置可选,排法为2A3A224(种);如果5不在两端,则1,2只有两个位置可选,排法有3血A12(种),共计24+12=36(种).【方法技巧】优先考虑特殊元素复杂问题,分类求解6. (2010某某高考理科8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某某世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是()(A)152(B)126(C)90(D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查排列、组合知识的应用,考查考生的运算求解能力.【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作知,司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类:司机只安排1人;司机安排2人,然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规X解答】选B.当司机只安排1人时,有C;C:A3=108(种);当司机安排2人时有C32Af=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加,因此属于不同元素的分组问题,解题时往往采用“先分堆,再分配”的办法若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制,则甲、乙二人各有3种选择,丙、丁、戊各有4种选择,因此共有33444576(种)安排方案7. (2010某某高考文科T10)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有()(A)30种(B)36种(C)42种(D)48种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理,考查排列、组合的知识及其综合应用,考查分类讨论的思想方法【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙,再安排其他员工【规X解答】选C.(1)若甲、乙安排在同一天值班,则只能在15日值班,其余四人的值班安排方法有22C4C26(种)(2)若甲、乙不在同一天值班,则甲只能在15日或16日值班,若甲在16日值班,则122112有C4C4C224(种);若甲在15日值班,则乙只能在14日值班,共有C4C3C212(种),所以共有6241242(种).【方法技巧】本题用到分类讨论的方法,按照特殊元素和特殊位置进行讨论8. (2010某某高考理科10)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()(A)72(B)96(C)108(D)144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题,考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力【思路点拨】要得到偶数,第一步考虑,个位数字的选取,有3种选法;第二步考虑1,3相邻的问题,分两类:一类是1,3相邻,且都不与5相邻,另一类1,3,5均不相邻【规X解答】选C.第一步:由于是组成一个6位的偶数,那么尾数就应该是在2,4,6中选,有C3种方法第二步:又因为1,3不与5相邻,将其分为两类:先将剩下的2个偶数排好有A种排法,1和3捆绑,再与5插空有A;A种插法,共有AA;A种排法;先将剩下的2个2332偶数排好有A2种排法,把1,3,5插空,有A3种插法,共有AA2种排法,故符合题意的所有偶数有C3A;aa108(个).【方法技巧】相邻问题,捆绑排列;不相邻问题,插空排列;复杂问题,分类讨论.9. (2010某某高考理科9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有()(A)504种(B)960种(C)1008种(D)1108种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理,考查排列、组合的知识及其综合应用,考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙,再考虑丙、丁,最后安排其他员工【规X解答】选C.(1)若甲、乙安排在开始两天,贝U丁有4种选择,共有安排方案A2C4A4192(种).(2)若甲、乙安排在最后两天,则丙有4种选择,共有A2C4A4192(种).(3)若甲、乙安排在中间2135天,选择两天有4种可能,若丙安排在10月7日,丁有4种安排法,共有4AC4A3192(种);若2113丙安排在中间5天的其他3天,则丁有3种安排法,共有4A2C3C3A3432(种),所以共有1921921924321008(种).【方法技巧】本题用到分类讨论的方法,按照特殊元素(甲、乙在一起,丙丁不在某位置)进行讨论;用到分类枚举法例如,丙不在10月1日,则考虑在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形.10. (2010某某高考文科T1)(x1)4的展开式中X2的系数为()(A)4(B)6(C)10(D)20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识,考查二项展开式的通项公式的应用,考查运算求解的能力,考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.【规X解答】选B方法一:TriC;x4r,令4r2,则r2,所以C:6.方法二:杨辉三角中有一行的系数14641,即为(x1)4的展开式的系数,故x2的系数为6.方法三:(x1)4(x22x1)2(x21)2x2(x21)24x(x21)4x24,3小2x4x6x4x1.【方法技巧】(1)公式法(2)杨辉三角、数表法(3)应用多项式的乘法公式计算.11. (2010某某高考文科T3)(1x)10展开式中x3项的系数为()(A)720(B)720(C)120(D)120【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用.【思路点拨】先写出通项,再令x的次数为3,求出r的值,最后求系数.【规X解答】选D.Tr1C;0(x)r,其中r可取0,1,2,.,10,令r3得x3项的系数为C1o(1)3120,故选D.12. (2010某某高考理科T6)(2、&)8展开式中不含x4项的系数的和为()(A)1(B)0(C)1(D)2【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用,还考查函数的求值,考查数学中常用的函数思想.【思路点拨】先求所有项的系数和,再求含x4项的系数,最后相减.【规X解答】选E.令f(x)(2X)8得所有项的系数和f(1)1,又通项Tr1C;28r(x)r,其中r可取0,1,2,
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