（讲稿）-代数式变形与技巧代数式变形与技巧（一）德阳二中 邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么这两个代数式恒等。把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变形（或恒等变换）。整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。代数式的恒等变形广泛应用于计算、化简、求值、证明、解方程之中，是数学中非常重要的变形(运算)的方式。能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力的标志之一。因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学，提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。常用的方法除提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添(拆)项法、配方法、换元法、待定系数法等。由于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变形中的使用，所以这里不再展开。例1、计算：199119921992199219911991解：199119921992199219911991=19911992100011992199l10001=0例2、当时， 。分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式相关的的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含时为止，再把代入即可。解：，原式 代入得，原式。例3、满足等式：的正整数对的个数是（ ）。 A、1 B、2 C、3 D、4分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是、的代数式，因而可考虑用因式分解方法来解。解：由已知等式可变形（题中隐含x0, y0）为： 因为，则，所以由于x、y是正整数，且2003是质数，所以只有或故应选（B）例4、求证：能被整除。分析与解：解该题的方法很多，如待定系数法、竖式除法等。由题意还可知是的一个因式，因此分解因式得思考：该因式分解使用了什么方法?你能揭示该方法的一般规律吗?例5、解方程解：原方程可变形为：（舍去）或解得（检验略）二、应用公式恒等变形恒等变形常用的方法除配方法、换元法、待定系数法外还常用公式法，而灵活运用公式是运用公式法恒等变形的关键。常用的乘法公式有：此外，还有一些乘法公式及公式变形例1、已知：，求证：分析与解：寻求已知条件与求证等式之间的关系可以从入手，变形为，再利用立方公式进行恒等变形，从而获证。例2、己知，求证：分析与解：将求证等式右边根据公式展开进行恒等变形，得，再将已知条件进行分式运算变形，得 ，从而获证。三、应用三种数学方法恒等变形这里我们所说的三种数学方法是指初中教材中所涉及到的代换法、配方法、待定系数法。它们在恒等变形中起着重要作用。1、代换法代换法就是一种字母替换或等量替换的方法。而我们常用的换元法就是其中的一种。使用代换法可化繁为简，化难为易，是解决问题的一种有效的思维方法。例1、化简分析与解：代数式的运算化简是最常规最基本的恒等变形，它是解决许多数学问题的基础，该题采用设的代换法，则使化简十分简单，原式。例2、分解因式分析与解：直接应用公式但书写较繁，若用代换法配合应用公式则较简便。设，则故换元实质上是将某个局部看作一个整体，对此认识比较深刻的同学，往往不将换元过程表现出来，但仍然认为使用了换元这种思考方法。例3、分解因式解：原式= 练习（一）1、计算2、分解因式（1），（2），（3），3、化简4、已知， ，求的值。5、解方程6、已知ABC三边的长为a、b、c且试判断ABC的形状答案：1，1995。2，（1），（2）, （3）， 3，4，05，x=9 6，以a为底或以c为底的等腰三角形。代数式变形与技巧（二）德阳二中 邓正健2、配方法配方法是恒等变形的一种常用方法，在配方时，常用到添项和拆项的技巧。例1、已知a、b、c、d是四边形的边长，且满足 求证：这个四边形是菱形。分析；从表面上看似乎是几何问题，但实质上是对条件等式进行添项配方得再应用非负数的性质得，获证。例2、已知 ，求的值 分析与解：对条件等式进行拆项配方得x、y的值，代入即可。3、待定系数法待定系数法的特点是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，然后根据题目条件找到待定系数字母所满足的关系式，求出待定系数，从而使问题保证解决，待定系数法是一种有用的数学方法，在恒等变形中经常用到。例1、是否存在常数p、q，使得能被整除?如果存在，求出p、q的值；否则请说明理由。分析与解：如果能被整除，那么，商式一定是一个二次多项式，根据“被除式=除式商式”(整除时)可以运用待定系数法求出P、q的值，所谓P、q是否存在，就是关于待定系数的方程组是否有解。假设存在常数P、q，使能被整除，可设，比较系数得方程组，解方程组即可。m=-2,n=5例2、已知是一个完全平方式，求常数m。分析与解。由x4项可知，完全平方式的底数一定是一个x2一项系数为1的二次三项式，一次项系数和常数项可先用字母a、b表示。设=比较系数得方程组，解方程组可得m =16。四、恒等变形的应用代数式的恒等变形是解决数学问题的一种手段，巧妙加以利用，会使原本非常复杂的问题获解。下面就恒等变形应用于计算、化简、求值、解方程证明等方面举例加以说明。例1、若,求的值。分析与解：将直接代入分式求值，运算量太大，若将条件等式及所求值的代数式均作变形，则让我们体会到恒等变形的妙处。， ， 。分子除以余10，分母除以余2。例2、解方程 分析：用常规方法需平方两次，而平方的目的是化简无理方程为有理方程，若利用有理化因式将方程恒等变形，较为简捷。解：设则与相乘，得， 即 与联立解得， （检验略）例3：证明具有下列形式的数是完全平方数。分析：由特殊到一般当n=1时，当n=2时，当n=3时， 猜想：证明：N例4、已知多项式的展开式为，试问及的值是不是定值?如果是定值，求出它们的值；否则，请举例说明。分析与解：将的展开式写出来，再求每一个系数是不实际的。由于不管x取何值时与的值均相等，所以可以从x取特值入手。解：当x=1或x=-1时得即 解得：练习（二）1，已知，那么的值是 2,已知p,q,r满足：，则 3，已知实数a满足:,那么的值是 4，若实数x,y,z满足,则的值是 5、设试判断的值是否是定值？如果是定值，求出它的值，如果不是定值，请说明理由。6、解方程组7、已知： (a,b,c,d均为正数),求证：8，已知，xy,且，求证：答案：1， 2， 3，2007 4，1 5，定值为0， 6，,7，略 8，略第 5 页 共 7 页