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(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的不等式问题教师用书1若a,b,cR,且ab,则下列不等式一定成立的是()Aacbc B(ab)c20Cacbc D.0答案B解析A项:当cbab0,因为c20,所以(ab)c20.故选B.2(2016浙江金华十校联考)已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1答案C解析由题意不等式x(x1)f(x1)1等价于或解不等式组得x0时,原不等式化为(x1)0x或x1.当a1,即a2时,解得1x;当1,即a2时,解得x1;当2,解得x1.综上所述,当a2时,原不等式的解集为;当a2时,原不等式的解集为1;当2a0时,原不等式的解集为(,1.思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0,小于0,和大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系(3)当方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式(1)若0a0的解集是_(2)若关于x的不等式|x1|xm|3的解集为R,则实数m的取值范围是_答案(1)(a,)(2)(,4)(2,)解析(1)原不等式即为(xa)(x)0,由0a1得a,ax3,m13,由此解得m2.因此实数m的取值范围是(,4)(2,)题型二线性规划问题例2实数x,y满足不等式组 则z|x2y4|的最大值为_答案21解析方法一作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示z|x2y4|,则几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的倍由得点B的坐标为(7,9),显然,点B到直线x2y40的距离最大,此时zmax21.方法二由图可知,阴影区域内的点都在直线x2y40的上方,显然此时有x2y40,于是目标函数等价于zx2y4,即转化为一般的线性规划问题显然,当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax21.思维升华对线性规划问题的实际应用,关键是建立数学模型,要找准目标函数及两个变量,准确列出线性约束条件,然后寻求最优解,最后回到实际问题(1)已知x,y满足约束条件当目标函数zaxby(a0,b0)在该约束条件下取到最小值2时,a2b2的最小值为()A5 B4C. D2(2)(2017杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨现库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元,生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元,那么适当安排生产,可产生的最大利润是_元答案(1)B(2)30 000解析(1) 画出满足约束条件的可行域如图所示,可知当目标函数过直线xy10与2xy30的交点(2,1)时取得最小值,所以有2ab2.因为a2b2表示原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方,所以的最小值为原点到直线2ab20的距离,即()min2,所以a2b2的最小值是4,故选B.(2)设生产甲种肥料x车皮,生产乙种肥料y车皮,则z10 000x5 000y,约束条件为画出可行域如图所示,由图可知,在D(2,2)处z有最大值,且zmax10 00025 000230 000(元)题型三基本不等式的应用例3(1)在面积为定值9的扇形中,当扇形的周长取得最小值时,扇形的半径是()A3 B2C4 D5(2)(2016浙江五校第一次联考)已知a0,b0,c1,且ab1,则(2)c的最小值为_答案(1)A(2)42解析(1)设扇形的半径为r,其弧长为l,由题意可得Slr9,故lr18.扇形的周长C2rl2212,当且仅当2rl,即r3,l6时取等号(2)22 222,当且仅当即时等号成立,(2)c2c2(c1)22 242,当且仅当2(c1),即c1时,等号成立综上,所求最小值为42.思维升华(1)应用型问题解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件,不要忽视问题的实际意义(1)设x,y均为正实数,且1,则xy的最小值为()A4 B4C9 D16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为2 000元/m2;材料工程费在建造第一层时为400元/m2,以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低,则应把楼盘的楼房设计成_层答案(1)D(2)10解析(1)由1可得xy8xy.x,y均为正实数,xy8xy82 (当且仅当xy时等号成立),即xy280,解得4,即xy16,故xy的最小值为16.(2)设应把楼房设计成x层,每层有面积y m2,则平均每平方米建筑面积的成本费为k20x3802 380780,当且仅当20x,即x10时取等号,故应把楼房设计成10层题型四绝对值不等式例4设不等式|x1|x1|2的解集为M.(1)求集合M;(2)若xM,|y|,|z|,求证:|x2y3z|.(1)解x;1x1;x,综上所述,不等式的解集即集合M为1,1(2)证明|x2y3z|x|2|y|3|z|123,|x2y3z|.思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义,零点分段法、平方法、构造函数法等(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值(1)(2016杭州质检)已知函数f(x)|x5|x3|x3|x5|c,若存在正常数m,使f(m)0,则不等式f(x)f(m)的解集是_(2)不等式|x2|x1|a对于任意xR恒成立,则实数a的取值范围为_答案(1)(m,m)(2)(,3解析(1)由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知,函数f(x)为偶函数,当3x3,得f(x)的最小值为16c.结合题意可得c16.由f(m)0得f(x)f(m),即|x5|x3|x3|x5|c0,结合图形可知,解集为(m,m)(2)当x(,1时,|x2|x1|2xx112x3;当x(1,2)时,|x2|x1|2xx13;当x2,)时,|x2|x1|x2x12x13,综上可得|x2|x1|3,a3.1解关于x的不等式x2(2m)x2m0.解原不等式可化为(x2)(xm)2时,不等式(x2)(xm)0的解集为x|2xm;当m2时,不等式(x2)(xm)0的解集为x|mx2;当m2时,不等式(x2)(xm)2时,不等式的解集为x|2xm;当m2时,不等式的解集为x|mxg(x)对任意的xR都成立,求k的取值范围解(1)f(x)|x3|x4|,f(x)f(4),即|x3|x4|9,或或解得x5或x4,f(x)f(4)的解集为x|x5或x4(2)f(x)g(x),即f(x)|x3|x4|的图象恒在g(x)k(x3)图象的上方,又f(x)|x3|x4|g(x)k(x3)的图象恒过定点P(3,0),作函数yf(x),yg(x)的图象如图,其中kPB2,A(4,7),kPA1,由图可知,要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,则需1k2,实数k的取值范围为(1,23某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么应如何安排生产,工厂每周才可获得最大利润?解设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨,所获周利润为z元依据题意,得目标函数为z300x200y,约束条件为欲求目标函数z30
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