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函数性质的综合运用 编号08一、 考纲规定基本初等函数及函数的性质二、 复习目的:能灵活运用函数的性质解决有关问题三、 重点难点函数的性质的综合运用四、知识梳理及典例分析一).常用函数(基本初等函数): 2.3. 45.幂函数: 6指数函数:7.对数函数:8.三角函数:,,,由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如:,,试着分析以上函数的构成。二)定义域:1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽视定义域。求定义域:例1求下列函数定义域:(1) ()三)值域:1. ; 函数的定义域和值域都是(b),求的值。小结:函数值域的计算能力规定高、考察频率高,应当分类归纳,各个击破。四).单调性:1.单调性的证明:(1)定义法:例 判断函数的单调性,并用定义证明。单调性的简朴应用:例2 ()函数的单调增区间是_ 高考真题预测:已知是上的减函数,那么的取值范畴是( )(A) (B) (C)(D)解:依题意,有0a1且3a1,解得0a,又当7a-1,当x1时,ogax0,因此a0解得x故选C 例3函数对任意的,均有,并且当时,, 求证:在上是增函数;若,解不等式五).函数的奇偶性:常用性质:1是既奇又偶函数; .奇函数若在处有定义,则必有; 3偶函数满足; 4.奇函数图象有关原点对称,偶函数图象有关y轴对称;除外的所有函数奇偶性满足:奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数.任何函数可以写成一种奇函数和一种偶函数的和。例设是R上的任意函数,则下列论述对的的是 ()是奇函数 (B)是奇函数 ()是偶函数 (D) 是偶函数【解析】中则,即函数为偶函数,B中,此时与的关系不能拟定,即函数的奇偶性不拟定,中,即函数为奇函数,中,,即函数为偶函数,故选择答案D。例 已知函数是定义在上的偶函数. 当时,则 当时, .解:当(0,+) 时,有-x(-,0),注意到函数(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数,于是,有f(x)f(-)=-x-(-x)=-4 .从而应填-x-x4例 已知定义域为的函数是奇函数。()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值范畴;解析:()由于是奇函数,因此=0,即 又由f(1) f(-1)知 ()解法一:由()知,易知在上为减函数。又因是奇函数,从而不等式: 等价于,由于减函数,由上式推得:即对一切有:,从而鉴别式练习:1、已知函数,若为奇函数,则_。解析:函数若为奇函数,则,即,=. 2、 若奇函数满足,则_六)函数的周期性:(一)要点:1(定义)若是周期函数,T是它的一种周期。阐明:nT也是的周期(推广)若,则是周期函数,是它的一种周期2.若定义在上的函数的图象有关直线和对称,则是周期函数,是它的一种周期(推论)若定义在R上的偶函数的图象有关直线对称,则是周期函数,是它的一种周期3. 若定义在R上的函数的图象有关点和点对称,则是周期函数,是它的一种周期(推论)若定义在R上的奇函数的图象有关点 对称,则是周期函数,是它的一种周期4若定义在R上的函数的图象有关直线和点对称,则是周期函数,是它的一种周期(推论)若定义在R上的奇函数的图象有关直线对称,则是周期函数,是它的一种周期.若;则是周期函数,2是它的一种周期(二)例题解说:例6 函数对于任意实数满足条件,若则_。解:由得,因此,则。例 是定义在R上的偶函数,图象有关对称,对任意,有,且求;证明:是周期函数; 例9 已知定义在上的奇函数f(x)满足(x+2)=-f(x),则,(6)的值为(A) () 0 (C) 1 ()2解:由于f(x)是定义在R上的奇函数,因此f()=0,又(+4)f(x+2)f(x),故函数,f()的周期为4,因此f(6)f()=f(0)0,选B 练习1、已知函数是一种以4为最小正周期的奇函数,则( )A.B4C.4D.不能拟定2、已知 (x)是定义在实数集上的函数,且则f () 3、 已知是()上的奇函数,,当0时,f(x)x,则f(7.5)_ 4已知是周期为2的奇函数,当时,设则(A) (B) (C) (D)解:已知是周期为2的奇函数,当时,设,,0,选D七).函数的综合应用:1.二次函数:例1 已知函数在区间上有最小值记为,求的函数体现式。例 若不等式2ax0对于一切x(0,成立,则a的取值范畴是( )A.0 B. .- .-3选C例6 设函数.(1)在区间上画出函数的图像;(2)设集合. 试判断集合和之间的关系,并给出证明;解:(1) ()方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此 由于. .函数方程例 已知定义域为R的函数满足 (I)若,求;又若,求; (II)设有且仅有一种实数,使得,求函数的解析体现式 例 对于函数f(x),若f(x)=,则称x为f(x)的“不动点”,若,则称为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即,.(1) 求证:AB;(2).若,且,求实数的取值范畴.证明(1).若=,则AB显然成立;若,设tA,则f(t)=t,f(f(t)f(t)=t,即t,从而 B. 解 (2):中元素是方程f(x)即的实根. 由 ,知 a=0 或 即 B中元素是方程 即的实根由AB,知上方程左边具有一种因式,即方程可化为 因此,要A=B,即要方程 要么没有实根,要么实根是方程 的根.若没有实根,则,由此解得 若有实根且的实根是的实根,则由有,代入有 2+1=0由此解得 ,再代入得由此解得 .故 的取值范畴是 例 定义在集合A上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2A均有,则我们称函数是上的凹函数.()试判断=3xx与否是上的凹函数?(2)若函数=x2是R上的凹函数,求实数a的取值范畴解:(1)2分 f(x)=32+x是上的凹函数6分. (2)(文科)f(x)=ax2+x是R上的凹函数,即恒成立8分恒成立. a.12分. 四、 反思感悟五、 千思百练 1、已知函数若,则实数a的取值范畴是 2、若,则a的范畴 3、设奇函数在上为增函数,且,则不等式解集为_.4、定义在R上的偶函数满足:对任意的,有,则由小到大的顺序是 5、有关函数有下列命题:其图像有关轴对称;的最小值是;的递增区间是;没有最大值其中对的是_(将对的的命题序号都填上)
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