关于酒后驾车的数学建模问题建模：写作：编程：关于酒后驾车的数学建模问题摘要 本文主要讨论了在两种饮酒方式下血液中酒精含量如何变化的问题。通过建立了胃、肠和体液里酒精浓度的微分方程，综合分析了饮酒量、饮酒方式和饮酒者质量三个因素对安全驾车的影响。针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和多次饮酒三种形式来讨论。并分别建立了快速饮酒、匀速饮酒和多次饮酒系统动力学模型，并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系（见图二）。并结合模型，运用MATLAB工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布（见图三）。进而推广到快速饮用不同量的啤酒的违规时间分布图（见图四）。另外，本文在模型分析中具体的解释了大李所遇到的问题（详见模型分析）。并给想喝一点酒的司机在驾车方面提出了相应的忠告。关键词 酒精含量 吸收速率 分解速率 动力学模型一、 问题重述 由于饮酒驾车造成了大量的交通事故，为此，国家发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准。根据新的标准，通过建立数学模型，分析并讨论人在饮酒后血液中的酒精含量，从而解释大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合标准，接着晚上又喝了一瓶，但凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车的问题，。为什么喝同样多的酒，两次检查结果不一样？并进一步分析快速或匀速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准，估计血液中的酒精含量在什么时间最高，如果某人天天喝酒，是否还能开车等问题。并根据所做出的结果，结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。二、问题分析根据生物学知识可得，酒精进入机体后，同药物一样，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。另外，根据生物学知识还知道酒精主要由胃、肠吸收，随后进入血液并随血液输送至体内各组织器官内，最后在肝脏中进行代谢。在此，可将胃、肠简化为吸收室，将肝脏简化为分解室。然而，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，当在血液中达最高浓度时，随后便开始消除，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。但不同的饮酒方式对血液中酒精浓度的变化有不同的影响，所以，要从不同的饮酒方式进行考虑，从而设置相应的变量，建立模型。三 、基本假设为了建立饮酒与安全驾车问题的数学模型，做以下假设：（1) 确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界（国家标准 车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验 规定：车辆驾驶人员血液中的酒 精含量大于或等于20毫克100毫升，小于80毫克100毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克100毫升为醉酒驾车）.（2) 酒精进入人体后经胃、肠吸收进入体液(含血液)，然后随血液循环至肝脏分解.（3)酒精在血液和其他体液中的含量相等，体液密度是常数.(4)每个人的胃、肠吸收酒精速率和肝脏分解酒精的速率是常数.(5)酒精从胃、肠渗透入血液的速率和酒精在肝脏中分解的速率都与酒精质量浓度成正比.(6)酒精进入人体内所占体积可忽略不计.(7)在短时间内喝酒不计喝酒时间，在较长一段时间内喝酒被视为在这段时间内以恒定的速率连续喝酒的过程.(8) 体液占人体质量的68%，血液占人体质量的7%.(9)忽略如下因素：口腔黏膜对酒精的吸收，通过呼吸、出汗、尿液排出的酒精，其他药物对酒精的影响等.四、符号说明本文所用到的符号有：吸收室中酒精浓度；血液中酒精浓度； 血液中酒精浓度的增加速率与的比例系数； 血液中酒精浓度的减少速率与的比例系数； 吸收室中酒精浓度的减少速率与的比例系数； 人体的质量； 体液体积； 进入人体的酒精质量； 喝的啤酒瓶数； 时间； 多次饮酒的周期； 多次饮酒时，每次饮酒的量； 慢速饮酒所需时间 五、模型建立与求解根据已知知识可得，酒精主要由胃、肠吸收，随后进入血液并随血液输送至体内各组织器官内，最后在肝脏中进行代谢。现将胃、肠简化为吸收室，将肝脏简化为分解室，忽略干扰因素，可得酒精的吸收和输送流程示意图（图一）：血液吸收室酒精 酒精进入血液 分解酒精 图一：酒精的吸收和输送流程示意图图一中的 ( mg / (100 mL) )和 ( mg / (100 mL) )分别表示t 时刻酒精在吸收室和血液中的浓度。5.1 快速饮酒模型在该模型中，假设酒是在短时间内喝下去的。在此方式下，吸收室中酒精质量浓度的变化率和成正比关系，比例系数为，可得微分方程： 且 血液中酒精质量浓度的变化率为-,于是可得微分方程： - 且 综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：对模型进行求解得： 通过Matlab软件对数据进行拟合，求的：根据假设，得知：为体液密度 (mg / (100 mL),且为一常数。从相关的资料中可以得知：酒精的密度为0.8毫克毫升，啤酒中酒精占33到5，可以取395为计算标准，每瓶啤酒640毫升可以得到某人喝下一瓶啤酒时，总的酒精量为64039508=20224毫克 ，解出将上面的数据带入后的到新的方程组：由上式可以得出，在短时间内喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量 成正比，与人体质量m 成反比，并随时间t 变化。 根据已知数据和求得的函数，使用Matlab软件进行拟合，绘制出在短时间内喝下两瓶酒后，人体血液中酒精浓度随时间的变化关系图(如图二)： /mg/100ml 图二： 血液中酒精随时间的变化关系 t/h 从图像中可以判断出：在饮酒后0-9.5小时内为饮酒驾车；在饮酒后9.5以后则为正常情况。 5.2 慢速饮酒模型在该模型中，假设酒是在较长一段时间T 内喝下去的。在此方式下:5.2.1 0 tT (喝酒过程)，吸收室中酒精质量浓度的变化率仍与酒精进入吸收室的速率有关。根据假设，酒精进入吸收室的速率为,吸收室中酒精质量浓度的变化率由和组成.可得微分方程：血液中酒精质量浓度的变化率仍由和 组成，因此的微分方程： 综上所述，得到慢速饮酒的微分方程模型：对模型进行求解得： （1）将已经求得的数据带入上式后的到新的方程组： 5.2.2 tT时(喝完酒后)吸收室中酒精质量浓度的变化率和成正比关系，比例系数为，可得微分方程： 血液中酒精质量浓度的变化率为-,于是可得微分方程： -综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：对模型进行求解得：将已经求的数据带入上式后的到新的方程组：由上面(1)式和(2)式可以看出，在用慢速喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量 成正比，与人体质量m 和喝酒所用时间T 成反比，并随着时间t 变化。在此，根据已知的数据和上面求得的函数，使用Matlab软件绘制出在两个小时内匀速的喝下三瓶酒后，人体内酒精浓度随时间的变化图（如图三）： 图三：两小时匀速饮酒后血液中酒精含量随时间变化图从图像中可得：在饮酒后24.5小时内为醉酒驾车；在饮酒后4.5-12小时为饮酒驾车。5.3 多次饮酒模型 在此模型中，假设多次饮酒的周期为，每次饮酒量均相同为。在每个周期内，吸收室中酒精质量浓度的变化率和成正比关系，比例系数为，可得微分方程： 血液中酒精质量浓度的变化率为-,于是可得微分方程： - 对于每个周期，的变化率和的变化率均满足以上的微分方程。综上所述，得到多次饮酒的微分方程模型：对模型进行求解得： 其中和是解微分方程中的参数。在所求得的结果中：（1）当n=1时 （2）当n1时 解出通解中的参数为：根据所求得的函数绘制图线：图四：多次饮酒血液中酒精浓度示意图 由图四可得：在多次饮酒过程小红，每个饮酒周期结束时，体内酒精浓度下降，而在下一个饮酒周期开始时，血液中酒精浓度呈上升趋势，这是由于吸收室中酒精浓度突然上升造成的。六、模型分析根据本文所建立的模型，分析并说明实际中遇到的一些问题;6.1 解释大李遇到的问题 用5.1快速饮酒模型进行解释：从中午12点到下午6点T=6时，=1315.942979 mg / (100 mL)由于在下午6点未测出酒精含量超标，则65.797kg之后，设大李再次饮酒的时间为晚上时刻。由于此时大李的吸收室和血液中含有残留的酒精。所以，当t时，大李喝酒满足的微分方程为：将已经求的数据带入上式后得： 根据上式可得，与大李在凌晨2点被测出饮酒驾车完全符合。6.2 喝了三瓶酒后多久才能驾车（1）快速饮酒状况下：由5.1的模型可知：已知喝了三瓶酒，则n=3，所以有： 设在时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降。在时刻，刚好符合标准:由于刚饮完酒从到时刻，司机不会去驾车，并且很小，故在时间内，司机违反标准，得到的数据结果如下（见表一） 表一：快速饮酒时质量与恢复驾车时间关系表m/kg506070809010013.402512.417911.588710.868810.23399.6659 由表可以看出，在短时间内喝相同量的酒的情况下，质量越大的人，恢复驾车的时间越短，血液中酒精的浓度相对越低。（2）慢速饮酒状况下：由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：设在时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降。在时刻，刚好符合标准:由于刚饮完酒从到时刻，司机不会去驾车，并且很小，故在时间内，司机违反标准，取m为50,60,70,80,90,100，得到的,结果如下（见表二）： 表二：慢速饮酒是质量与恢复驾车时间关系表m/kg5060708090100