蝴蝶模型【结论】如图，S :S=S :S或者S XS二S XS1 2 4 3 1 3 2 4AO:OC = (S+S):(S+S)【证明】任意四边形中的比例关系.S :S= DO： OB； S :S= DO： OB1 2 4 3S : S=S : S1243S =S +S ; S =S +S ;ABD 12 BCD 34S:S=AO:OC; S:S= AO:OC.1 4 2 3AO:OC = (S +S ):(S +S )1 2 4 3经典例题典例1如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部 分，AA0B面积为1平方千米，ABOC面积为2平方千米，ACOD的 面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成， 求人工湖的面积是多少平方千米?A 匚一 !【答案】0.58（平方千米）【解析】根据蝴蝶定理求得S =3X122=1.5（平方千米），公园四边AOD形 ABCD 的面积是 1+2+3+1.5=7.5（平方千米），所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58（平方千米）.典例2如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积 已知。求：（1）三角形BGC的面积；（2）AG与GC的比值.A D【答案】1:3【解析】根据等高三角形的面积比等于底边长之比，ADG的面积：ACDG的面积二AG： CG=ABG的面积：ABCG面积=1:3,所以 BCG的面积=3X三角形ABG的面积=2X3=6,AG:CG=1:3.典例3如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的丄，且AO=2, DO=3，那么C0的长度是D0的长度的3倍.【答案】2.【解析】VS : S =0A:0C=l:3,0C=6, 6三3=2倍 ABD BCDC0长度是D0长度的2倍.典例4如图，平行四边形ABCD的对角线交于0点，CEF、A0EF、A0DF、BOE的面积依次是2、4、4和6。求：（1）求厶OCF的面积；（2）求【解析】(1)S= S + S + S + SBCDCEF0EF0DF B0E=2+4+4+6=16 因为0是BD的中点,所以 S =S=16 X =8,COD BCD所以 S =S -S =8-4=4OCF COD ODF答：AOCF的面积为4。从可知，S =S ,OCF ODF所以DF=FC,又因为0是BD中点，所以OFBC,所以 0F= 1BC,2因为S =S =8,B0C D0C所以 S =S -S =8-6=2,C0E B0C B0E所以 CE： CB=SC0ES =2:8=1:4,B0C所以 CE： 0F= 1： 1 =1： 2,42又因为OFCE,所以 CG： OG=CE： OF=1:2,所以 S = S = 2X2二 2CEG 1+2 C0E 33答: GCE的面积为2。3典例5图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最 大的一个三角形的面积是多少公顷?【答案】21 公顷.【解析】根据已知两块面积有 ABE与AADE的面积比为7： 6,两个三角形面积和为52-6-7=39（公顷），SAABE二 丄X39=21 （公顷），6+7SAADE 二旦X39=18 （公顷）。6+7显然，最大的三角形的面积为21公顷。拓展模型：梯形蝴蝶模型【结论】如图，S :S二a2: b213S ： S =S : S =a2: b2 : ab： ab1324【证明】在梯形中人。0与厶OBC是相似三角形,AD:BC=A0:OC=DO:OB=h : h =a : b那么S :S=巡:些二a2: b2.1 3 2 2S :S =D0:OB=a :& =a 2：a b.故：S :S :S :S =a2: b2 : ab： ab 1324【结论】整个梯形面积的总份数为(a +b)2.【证明】S +S +S +S 二a 2+m+a b+a b. 1324根据完全平方公式得：S梯形=(a +b)2典例6【解析】梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：(1) S:S=a2:b2;13(2) S:S:S:S=a2:b2:ab:ab;1324(3) S的对应份数为(a+b)2。S=2, S=4，由梯形蝴蝶定理得兰=叱=冬=2 = 1，23S3 b2b 4 2S=1, S=2，梯形的面积S=l+2+4+2=9.14典例7如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。【答案】1 平方厘米.【解析】TM是AD边上的中点，可以推出ACMD的面积占正方形ABCD 面积的丄，所以梯形ABCM的面积为3X(1-1)= 9平方厘米；4 4 4AM:BC=1:2,所以根据梯形蝴蝶定理可知梯形ABCM面积的总份数为(12+22)=9,阴影部分的面积二9X2X12=1平方厘米49典例8如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC, BD交于0,已知A0B与ABOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.【答案】144平方厘米.【解析】因为梯形ABCD被对角线分为4个小三角形,AOB和厶BOC的面积分别为25cm2和35cm2,S =S =35(cm2), AOD BOCSAAODSABOCDO 二 SADOCBO SABOC因为 S = 7X35=49(cm2)；DOC 5所以梯形的面积是：S + S + S + S =35+35+25+49=144(cm2) AOD BOC AOB DOC答：梯形ABCD的面积是144平方厘米.典例9如图，梯形ABCD的对角线AC与BD交于点0,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的2,求三角形AOD与三角形3B0C 的面积之比.【答案】4:9.【证明】根据梯形蝴蝶定理，S :S =ab： b2=2:3，可以求出a:b=2:3, AOB BOC再根据梯形蝴蝶定理，S :S=a2： b2=4:9.AOD BOC典例10如图，C是梯形ABED下底BE上的一点，CD平行AB，BC： CE=3： 2,三角形ODE的面积为6平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】连接 AC 做辅助线；因为CD平行AB，故ABCD为平行四边形BC二AD.所以 CE：AD=2：3；根据梯形蝴蝶定理可知S :S 二b2：ab=32 :(2X3)=9:6.AOD ODES =626X9=9平方厘米.AODS =S =6 平方厘米.AOC ODE在平行四边形 ABCD 中，S =S =6+9=15 平方厘米.ABC ACD阴影部分面积二S+S =15+6=21平方厘米.ABC ACO典例 11在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是多少平方 厘米?【答案】12平方厘米.【解析】因为AD/ BC,所以AF： EF=AD： BE=2:1,所以 S =(2+l)S=3(cm2)ABEBEF因为S =ABBC,正方形ABCDSAABE二 1AB BE二 1AB 1BC = 1AB BC2 2 2 4所以 S =4S=3X4=12(cm2)正方形ABCD AABE答：正方形ABCD面积是12平方厘米。