2020-2021学年贵州省遵义市航天高级中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1已知全集，则集合的真子集共有（ ）A3个B4个C5个D6个【答案】A【解析】先计算集合，再计算集合的真子集个数.【详解】全集，则故集合的真子集共有个故选：【点睛】本题考查了补集，真子集的个数问题，混淆子集和真子集是容易发生的错误.2若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用并集的定义可求得集合.【详解】，因此，.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，属于基础题.3使根式与分别有意义的的值集合依次为M、F，则使根式有意义的的值集合可以表示为（ ）ABCD【答案】B【解析】分别求、有意义的的值集合,然后判定其关系即可.【详解】使根式与分别有意义的的值集合依次为M、F，则，,要使根式有意义，须即，所以要使根式有意义的的值集合可以表示为， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的定义域，集合的基本运算，属于基础题.4下列各组函数的图象相同的是（ ）ABCD 【答案】D【解析】分别看每个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同.【详解】对于A，的定义域是R，的定义域是，故不满足；对于B，与的解析式不同，不满足；对于C，的定义域是R，的定义域是，故不满足；对于D，满足故选：D【点睛】本题考查的是同一函数的判断，较简单.5函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】要使有意义，则有，解出即可.【详解】要使有意义，则有，解得且所以函数的定义域为故选：B【点睛】本题考查的是定义域的求法，较简单.6是定义在上的增函数，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用函数的定义域及单调性建立的不等式组，解出即可.【详解】由于函数是定义在上的增函数，且，所以，解得，因此，不等式的解集是，故选D.【点睛】利用函数的单调性来求不等式的解集时，一般根据单调性列出相应的不等式进行求解，在此过和中一定要注意函数的定义域也要考虑进去，才不会致使结果出错.7设函数定义在整数集上，且,则（ ）A996B997C998D999【答案】C【解析】根据解析式可求出答案.【详解】因为所以故选：C【点睛】本题考查的是分段函数求函数值，较简单.8当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】转化为与的函数值异号，列式可解得结果.【详解】函数的对称轴为，当时，函数单调，所以由零点存在定理当函数值有正也有负时，等价于与的函数值异号，即，也就是，解得.故选：C【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.9设集合，已知且,则实数的取值集合为（ ）ABCD【答案】D【解析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性.【详解】当时，可得或，若，则，不合题意；若，则，符合题意；当，可得或，若，则，不合题意；若，则，不合题意.综上所述：.故选：D.【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属于基础题.10已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】将函数看作复合函数：外层函数为，内层函数为，而定义域为，即可求复合函数的定义域【详解】函数的定义域为故函数有意义，只需即可解得故选：B【点睛】本题考查了复合函数的定义域，利用复合函数的外层函数的定义域是内层函数的值域求定义域范围11函数的值域是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，且，将函数转化为二次函数求解.【详解】令，且，则，函数转化为由，则，即值域为故选：A.【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12已知，若函数在定义域内的一个区间上函数值的取值范围恰好是，则称区间是函数的一个减半压缩区间，若函数存在一个减半压缩区间，（），则实数m的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：因为，所以函数在上是增函数；时，因为是函数是一个减半压缩区间，（），所以；所以即方程有两不等的实根，令，则所以，则关于的方程有两个不等的实根，且两根非负；所以解得.【考点】函数的导数与单调性的关系及求函数值域.二、填空题13设集合A中有n个元素，定义|A|=n，若集合，则|P|=_.【答案】8【解析】根据集合中元素的性质列式可求出集合中的所有元素，进而可得结果.【详解】因为，且，所以或或或，所以或或或或或或或，所以，所以，故答案为：8【点睛】本题考查了求集合中元素的个数，属于基础题.14已知，则_【答案】【解析】利用换元法可得函数的解析式.【详解】令，则，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了利用换元法求函数的解析式，换元时要注意新元的取值范围，属于基础题.15函数的值域是_【答案】8,1【解析】设g(x)2xx2,0x3，结合二次函数的单调性可知：g(x)ming(3)3，g(x)maxg(1)1；同理，设h(x)x26x，2x0，则h(x)minh(2)8，h(x)maxh(0)0.所以f(x)maxg(1)1，f(x)minh(2)8.所以值域是8,116已知实数，函数，若，则a的值为_【答案】【解析】分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.【详解】当时，所以，解得，不满足，舍去；当时，所以解得，满足.故答案为：.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题三、解答题17设集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1（1）若BA，求实数m的取值范围；（2）当xR时，不存在元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围【答案】(1) m3;(2) m|m2或m4.【解析】试题分析：(1)根据B是A的子集,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围;(2) 根据不存在元素x使xA与xB同时成立,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围试题解析:（1）当m12m1，即m2时，B，满足BA当m12m1，即m2时，要使BA成立，只需，即2m3综上，当BA时，m的取值范围是m|m3（2）xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，又不存在元素x使xA与xB同时成立，当B，即m12m1，得m2时，符合题意；当B，即m12m1，得m2时，或，解得m4综上，所求m的取值范围是m|m2或m418已知函数.（1）判断函数在(，0)上的单调性，并证明你的结论；（2）求出函数在3，1上的最大值与最小值【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）最小值，最大值.【解析】（1）利用定义证明函数的单调性，注意步骤：作差，变形，定号，下结论；（2）由单调性即可得到最值【详解】（1）在单调递增证明：则在单调递增（2）由（1）知函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值【点睛】本题考查函数单调性的判断和证明，以及利用单调性求最值，属于中档题19已知是二次函数，且（1）求的表达式；（2）若任意恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，根据可解得，从而可得解；（2）分离参数化为对任意的 恒成立，求出不等式右边的最小值即可得解.【详解】（1）设， ，又，解得（2）由（1）知对任意恒成立，即对任意的 恒成立在单调递增当时，取得最小值为1，所以.【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.20已知函数，求在区间0,1上的最小值.【答案】当时，在区间0,1上的最小值为，当时，在区间0,1上的最小值为.【解析】根据函数图象的开口方向，按照对称轴与区间的中点值的大小关系分类讨论可得结果.【详解】，当，即时，的最小值为；当，即时，的最小值为.综上所述：当时，在区间0,1上的最小值为，当时，在区间0,1上的最小值为.【点睛】本题考查了分类讨论法求二次函数在闭区间上的最值，按照对称轴与区间的中点值的大小关系分类讨论是解题关键，属于基础题.21是定义在R上的函数，且对任意的都有成立，当时，.（1）证明：在R上是增函数；（2）若，解不等式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，则，得到，进而求得，即可证得函数在上是增函数；（2）由，求得，根据由（1）转化为，即可求解.【详解】（1）设，则，因为时，可得，又由对任意的都有，所以，即，所以在上是增函数.（2）因为，可得，解得，由（1）知在R上是增函数，可得，解得：，即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理利用函数的单调性进行转化不等关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元.写出函数的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)【答案】（1）550;（2）;（3）6000，,11000【解析】试题分析：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为个,则. (2)当时,P=60. 当100x550时,P=60-0.02(x. 当时,P=51. P=f(x)=N, (3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则 L=(P-40)x= 当x=500时,L=6 000; 当x=1 000时,L=11 000. 即销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元【考点】本题主要考查分段函数的概念，函数模型，函数的最值点评：典型题，解答此类问题的基本步骤是：审清题意，设出变量，布列函数，多法