早 节 题 目第七节极限存在准则两个重要极限内 容 提 要两个准则：夹逼准则；单调有界准则. 10sin0两个重要极限：1 lim= 1、2 lim(1严=eOf重点分析两个准则：夹逼准则、单调有界准则. 1oSina0-两个重要极限：1 lim=12 lim(1+a) = eOf难 占 八、 分 析两个准则的使用方法 利用两个重要极限求极限习 题 布 置P71 : 1 （单八 2 （单）、4备 注#教学 内 容一、极限存在准则1. 夹逼准则准则I如果数列xn,yn及zn满足下列条件：(1) yn Xn Zn(n =1,2,3 )(2) lim yn = a, lim zn = a,nn_)pc那末数列Xn的极限存在，且lim xa.n_jpc证：；yn r a, zn a,V s 0, mNi 0, N2 0,使得当n 汕时恒有yn-a3,当n N2时恒有|zn-a|, 取N二maxNN2,上两式同时成立，即 a - ； : yn ： a ；, a - ”zn ： a ；,当 n N时，恒有 a - ； ： yn 一 xn 一 zn ： a ；,即 xn a|v 名成立，” lim xn =a.1nJpc上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则I女口果当xEUXo)(或|x| M )时，有(i) g(x)空 f(x)汀(X),g(x)=A,(x )：)lim h(x) = A,X=x0(x那末lim f(x)存在，且等于A.X %(Xj)准则和准则称为夹逼准则.注意:利用夹逼准则求极限关 键是构造出yn与zn,并且yn与乙的极限是容易求的1n2 n).例1：又二 1,lim n 匚 n21n JimnT： :=1,由夹逼定理得nim（+n21 n2 2)n2. 单调有界准则如果数列Xn满足条件 乞X2乞Xn乞Xn .勺乞,单调增加或者为_X2Xn Xn1 _,单调减少准则H 单调有界数列必有极限几何解释：X1X2X3 Xn Xn 1例2：证明数列xn = l 3亠；3亠 .亠、.3 （n重根式）的极限存在.证：显然Xn 1 Xn Xn 是单调递增的又；x 3 : 3,假定 Xk : 3, Xk3 x3 3 : 3,.n 是有界的lim Xn存在.n :. Xn + 3 + Xn ,Xn 卅=3 + Xn ,|im Xn * = lim (3+Xn)nn2113113A2 =3 A,解得A 丿，A=- 丿(舍去)2 2. 1 +皿 lim Xnn-.-2二、两个重要极限sin x设单位圆 0,圆心角.A0B二x, （0 :： x :：）,作单位圆的切线，得 ACO.扇形OAB的圆心角为x,OAB的高为BD,于是有sinx二BD,x =弧 AB, tanx 二 AC,.sin x ： x : tan x, 即 cosx ：sinx ：1,x上式对于 x :2o也成立.当o ： x时,22 x0 v Cosx1 =1cosx =2sin 22xlim sinx =1.x_0 xlim 一 - 0, lim (1cosx) =0, x.0 2x0lim cosx =1,又 lim 1 = 1,x )00解:2 x2 si n原式=lim2x2sin2 x.x1 sin=-lim (2)2 x x2丄122定义设Xn=1 1lim (1 一n=(1 +)nn11(1 _ i) 2!n=1n 1 n(n-1)11! n1 (1n!2! n2 “-2) (1 n nn(n -1) (n n 1)1n nn!类似地1 1xn 1 =1 T-一 (1 ) n 12!n 1112n -1、(1 )(1 y (1 )n! n 1 n 2n 1+ (1 - 亠(1 - 4(1 - 一(n 1)! n 1 n 2n 1显然xn 1 xn xn f是单调递增的;1Xn ：112!Xn 是有界的；1 1 1 + v1+1n!22n.lim xn 存在.n =3-2仁：3,1记为 nim(1 n)n =e (e =2.71828)当X _ 1时,有x乞X乞x1,(11严打丄广打丄严1x 1xx而岷(吩严1xlim (1；)lim (1x1x) 乂lim (11)xxx 1=lim (11)x 1 lim (一1) 4x 1xx 11 x吋x) =e.1令 t = -x, . lim (1 一一)x；1)x .1訓:(1丁1 t4和叭(1t-1)t4(1)x=exxim：(11令t =丄x二 e.,l叫(1x)x =lim.(11te.1lim (1 x)e例4求xm(1-)xx解：原式=iim（1 1dim 1= 1F -Xf（1 +丄）e-X例 5 求 |计（3 + x）2x.j： 2 x解原式=iim（1：；1）x 22（1 川-）A 二 e2.x 匚 x 2x 2三、小结1两个准则夹逼准则；单调有界准则2两个重要极限设为某过程中的无穷小，. 10 sin 二o1某过程，丸2某过程(1思考题1求极限lim 3x 9x xx ):：思考题解答1lim 3x 9x xx ：1 /1 - cosx求 lim 2.x)0 x1 2lim (1x x