（2011河南）如图，在RtZABC中，NB=90,BC=56，NC=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DF_LBC于点F,连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，4DEF为直角三角形请说明理由.解答：（1）证明：在ADFC中，NDFC=90,ZC=30,DC=2t,ADF=t.又.AE=t,AAE=DF.（2分）（2）解：能.理由如下:VABBC,DFBC,AEDF.又AE=DF,四边形AEFD为平行四边形.（3分）VAB=BCtan30=5yx空5,3/.AC=2AB=10.AD二AC-DC=10-2t.若使AEFD为菱形，则需AE二AD,即t=10-2t,3即当t弩时，四边形AEFD为菱形.（5分）（3）解：NEDF=90时，四边形EBFD为矩形.在RtZiAED中，ZADE=ZC=30,AAD=2AE.即10-2t=2t,t二（7分）NDEF=90时，由(2)知EFAD,JNADE=NDEF=90.VZA=90-ZC=60,/.AD=AEcos60.即t=4.（9分）2NEFD=90时，此种情况不存在.综上所述，当或4时，4DEF为直角三角形.（10分）如图，己知AABC中，AB=AC二12cm,BOlOcm,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，4BPD与CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，CPQ的周长为18cm,问：经过几秒后，4CPQ是等腰三角形解：（1）,ZXBPD与CQP是全等.理由如下:当P，Q两点分别从B,A两点同时出发运动2秒时有BP=2X2=4cm,AQ=4X2=8cm则CP=BC-BP=10-4=6cmCQ=AC-AQ=12-8=4cm（2分）D是AB的中点BD=1/2AB=1/2X12=6cm/.BP=CQ,BD=CP（3分）又；ABC中，AB=ACAZB=ZC（4分）在4BPD和CQP中BP二CQZB=ZCBD=CP/.BPDACQP （SAS）（6分）（2）设当P,Q两点同时出发运动t秒时,有BP=2t,AQ=4t/.t的取值范围为0VtW3则CP=10-2t,CQ=12-4t（7分）VACPQ的周长为18cm,/.PQ=18-（10-2t）-（12-4t）=6t-4（8分）要使4CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t解得：,1（9分）当PQ二PC时，则有6t-4=10-2t24.（本小题满分14分）在ABC中，AB二BC,将aABC绕点A沿顺时针方向旋转得A：BC,使点G落在直线BC上（点G与点C不重合），如图9一，当NC600时，写出边AB】与边CB的位置关系，并加以证明;（2）当NC=60时，写出边AB】与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当NC60时，请你在图9一中用尺规作图法作出ABC（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由.24.解：（1）ABJ/CB证明：由旋转的特征可知=ABAC,AC,=ACAB=BC:.ABAC=ZC,:AC.=AC:.ZACIC=ZC/.ZB./lCj=ZACjC/.ABJ/CB(2)AB/CB（3）作图略。成立。理由与第一问类似。25、（12分）己知RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM二DM且BM_LDM：（2）如图中的4ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。25.本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力.满分12分.（1）证法1：在Rt旗。中，V是斜边比的中点，BM=-EC.2在Rt。中，M是斜边用的中点，DM=-EC.2BWDM,且点乐aD、在以点为圆心、为半径的圆上./BM庐2/AC氏9G,即BMLDM.证法2：证明与证法1相同，下面证明5M_L。DMMaAEMD-2ZECD./BA仁MC,：./EMF2/ECB.：./EMD+AEMB=2（4ECD+ECB）.1 /ECD+/EC氏/AC氏针, NBMD=2NACB=Q,B|JBMLDM.（2）当/应绕点力逆时针旋转小于45的角时，（1）中的结论成立.证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结被延长，/至点尸，使得药生愿连结母；FC,延长口交力。于点乂DUMF,E拒MC,：.四边形物尸为平行四边形. DE/CF,ED二CF.：ED-AD,：.AD-CF.：DE/CF.：./AH芹/ACF.*.*/BAD=45。-ADAH=45-（90：ZAHE）=ZAHE-45J,4BCF=ZACF-45， /BAA/BCF.又曲BC,：.XABD9XCBF.：.B庐BF,/ABA/CBF.:/AB次/DBC二/CBF+/DBC,：.ADBF=-AABC=90.在RtZO8产中，由BD=BF,DM=MF,BDM_&BMX.DM.证法2(利用旋转变换)：连结BD,将月劭绕点5逆时针旋转90,点A旋转到点G点，旋转到点。，得到CB。，则比=8,4。=。/。=/*”且/。8。=90.连结M. :ZCED=ZCEA-ZDEA=(180-ZECA-ZEAC)-45=180-ZECA一(90一ABAD)-45=45-/ECA+/BAD/=ZECB+ABAD/=/ECB+/BCD，=/ECD:.DE/CDf.又DE=AD=CD 四边形DCD为平行四边形.D、M、。三点共线，且。在RtZXOBZX中，由3D=3。，ZW=W,得5上V且层匕证法3(利用旋转变换)：连结BD,将月劭绕点月逆时针旋转90。，点A旋转到点。，点，旋转到点iy，得到CBD，则BD=BD：AD=CD/BAD=/BCD,且/DBD=90.连结少，延长ED交AC于点、H.,/AHA90-/DA+90-(45ZBA/)=45+/BAD,Z48=45+N3C。，；/BAD=ZBCDf,ZAHD=ZACDf.人.DE/CD.又DE=AD=CD, 四边形DC。为平行四边形.D、M、。三点共线，且在RtZXOBZT中，Sbd=bd,DM=MD,得笈生V且5匕。I/.4、(14分)如图10,扇形0AB的半径0A=3,圆心角NA0B=90,点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD_L0A于点D,作CE_L0B于点E,连结DE,点G、H在线段DE上，且DG二GH二HE(1)求证：四边形OGCH是平行四边形(2)当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段若存在，请求出该线段的长度(3)求证：82+3C/72是定值24.(1)连结0C交DE于M,由矩形得OM=CG,EM=DM因为DG=HE所以EM-EH=DM-DG得HM=DG(2)DG不变，在矩形ODCE中，DE=OC=3,所以DG=1(3)设CD=x,则CE=的-丁,由=得CG=所以左=2_(内9-匚)2=所以HG=31三=二V3333所以3cH2= 3(J(1耳)= 12-x2所以。2+3C2=x2+12-x2=1224.(本小题满分14分)如图12,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。(1)若AG=AE,证明：AF=AH：(2)若NFAH=45,证明：AG+AE=FH；(3)若RtAGBF的周长为1,求矩形EPHD的面积。24.(本小题满分14分)解：(1)易证人ABF0AADH,所以AF二AH(2)如图，将AADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证AAFH2AAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE(3)设PE=x,PH二y,易得BG二l-x,BF=l-y,FG=x+y-l,由勾股定理，得(lx)2(ly)2=(xyl)：,化简得xy=,所以矩形EPHD的面积为.2.(2010广东广州，25,14分)如图所示，四边形物6。是矩形，点4。的坐标分别为(3,0),(0,1),点是线段6。上的动点(与端点6、。不重合)，过点作直线y=交折线以6于点日2(1)记物的面积为$求S与的函数关系式;(2)当点在线段0A上时，若矩形以回关于直线展的对称图形为四边形OABG，试探究如6G与矩形物6。的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】(1)由题意得B(3,1).若直线经过点力(3,0)时，则6=二2若直线经过点8(3,1)时，则b=32若直线经过点。(0,1)时，则b=l若直线与折线。始的交点在以上时，即=2O、图1L，如图25-多此时(2b,0)S=-OEC0=-X2bXl=b22若直线与折线。奶的交点在员1上时,35即,V5V，如图222图2此时(3,D(252,1)2*-S=S矩一(Skto+S*OAE+SDSE)=3-(2b-1)X1+iX(5-2Z?)(-/；)+1X3(Z?-)=22222-b-bi/742b.S=-b-lr12如图，在梯形 ABCD 中，ADBC, AD=3, DC=5, AB=4近，NB=45 ，动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t秒.（1）求线段BC的长度；（2）求在运动过程中形成的MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，AMCN的面积S最大，并求出最大面积；（3）试探索：当M,N在运动过程中，AMCN是否可能为等腰三角形若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由.解答：解：（1）如图L分别过A,D作AE_