全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。1（5分）（新课标）=（）AiBCD2（5分）（新课标）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），则A中元素的个数为（）A9B8C5D43（5分）（新课标）函数f（x）=的图象大体为（）ABCD4（5分）（新课标）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D05（5分）（新课标）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6（5分）（新课标）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A4BCD27（5分）（新课标）为计算S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+48（5分）（新课标）国内数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个不小于2的偶数可以表达为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选用两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD9（5分）（新课标）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）（新课标）若f（x）=cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD11（5分）（新课标）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D5012（5分）（新课标）已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13（5分）（新课标）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 14（5分）（新课标）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 15（5分）（新课标）已知sin+cos=l，cos+sin=0，则sin（+）= 16（5分）（新课标）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根规定作答。（一)必考题：共60分。17（12分）（新课标）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18（12分）（新课标）如图是某地区至环境基本设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区的环境基本设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据至的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据至的数据（时间变量t的值依次为1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别运用这两个模型，求该地区的环境基本设施投资额的预测值；（2）你觉得用哪个模型得到的预测值更可靠？并阐明理由19（12分）（新课标）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20（12分）（新课标）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值21（12分）（新课标）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一种零点，求a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率选修4-5：不等式选讲23（新课标）设函数f（x）=5|x+a|x2|（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范畴全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参照答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的。1D；2A；3B；4B；5A；6A；7B；8C；9C；10A；11C；12D；二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13y=2x；149；15；1640；一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的。1（5分）（新课标）=（）AiBCD【分析】运用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：=+故选：D2（5分）（新课标）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），则A中元素的个数为（）A9B8C5D4【分析】分别令x=1，0，1，进行求解即可【解答】解：当x=1时，y22，得y=1，0，1，当x=0时，y23，得y=1，0，1，当x=1时，y22，得y=1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A3（5分）（新课标）函数f（x）=的图象大体为（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性，运用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象有关原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B4（5分）（新课标）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D0【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B5（5分）（新课标）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为e=，则=，即双曲线的渐近线方程为y=x=x，故选：A6（5分）（新课标）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A4BCD2【分析】运用二倍角公式求出C的余弦函数值，运用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，则AB=4故选：A7（5分）（新课标）为计算S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+4【分析】模拟程序框图的运营过程知该程序运营后输出的S=NT，由此知空白处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运营过程知，该程序运营后输出的是S=NT=（1）+（）+（）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2故选：B8（5分）（新课标）国内数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个不小于2的偶数可以表达为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选用两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD【分析】运用列举法先求出不超过30的所有素数，运用古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则相应的概率P=，故选：C9（5分）（新课标）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，运用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为，则cos=，异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为故选：C10（5分）（新课标）若f（x）=cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD【分析】运用两角和差的正弦公式化简f（x），由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一种减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值【解答】解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一种减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故选：A11（5分）（新课标）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=