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www.ks5u.com普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学理第I卷(选择题共50分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若集合 ( 是虚数单位), ,则 等于 ( )A B C D 【答案】C【解析】试题分析:由已知得,故,故选C考点:1、复数的概念;2、集合的运算2下列函数为奇函数的是( )A B C D 【答案】D考点:函数的奇偶性3若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于()A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】试题分析:由双曲线定义得,即,解得,故选B考点:双曲线的标准方程和定义4为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入 (万元)8.28.610.011.311.9支出 (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 ,其中 ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A11.4万元 B11.8万元 C12.0万元 D12.2万元【答案】B考点:线性回归方程5若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为,当最小时,直线的纵截距最大,故将直线经过可行域,尽可能向上移到过点时,取到最小值,最小值为,故选A考点:线性规划6阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )A2 B1 C0 D 【答案】C【解析】试题分析:程序在执行过程中的值依次为:;,程序结束,输出,故选C考点:程序框图7若 是两条不同的直线, 垂直于平面 ,则“ ”是“ 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B考点:空间直线和平面、直线和直线的位置关系8若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于( )A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析:由韦达定理得,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,解得,;当是等差中项时,解得,综上所述,所以,选D考点:等差中项和等比中项9已知 ,若 点是 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于( )A13 B15 C19 D21【答案】A考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式10若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( )A B C D 【答案】C考点:函数与导数第II卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11 的展开式中,的系数等于 (用数字作答)【答案】【解析】试题分析: 的展开式中项为,所以的系数等于考点:二项式定理12若锐角的面积为 ,且 ,则 等于_【答案】【解析】试题分析:由已知得的面积为,所以,所以由余弦定理得,考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理13如图,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,函数 ,若在矩形 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】【解析】试题分析:由已知得阴影部分面积为所以此点取自阴影部分的概率等于考点:几何概型14若函数 ( 且 )的值域是 ,则实数 的取值范围是 【答案】考点:分段函数求值域15一个二元码是由0和1组成的数字串 ,其中 称为第 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组: 其中运算 定义为: 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定 等于 【答案】考点:推理证明和新定义三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率;()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望【答案】();()分布列见解析,期望为【解析】试题分析:()首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错,基本事件总数为,事件包含的基本事件数为,代入古典概型的概率计算公式求解;()列出随机变量的所有可能取值,分别求取相应值的概率,写出分布列求期望即可试题解析:()设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则()依题意得,X所有可能的取值是1,2,3又所以X的分布列为所以考点:1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望17如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.()求证:平面 ; ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值【答案】()详见解析;() 试题解析:解法一:()如图,取的中点,连接,又G是BE的中点,又F是CD中点,由四边形ABCD是矩形得,所以从而四边形是平行四边形,所以,,又,所以所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二:()如图,取中点,连接,又是的中点,可知,又面,面,所以平面在矩形ABCD中,由,分别是,的中点得又面,面,所以面又因为,面,面,所以面平面,因为面,所以平面()同解法一考点:1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角18.已知椭圆E:过点,且离心率为()求椭圆E的方程; ()设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由【答案】();() G在以AB为直径的圆外在圆上试题解析:解法一:()由已知得解得所以椭圆E的方程为故所以,故G在以AB为直径的圆外解法二:()同解法一.()设点,则由所以从而 所以不共线,所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系19已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.()求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;()已知关于的方程在内有两个不同的解 (1)求实数m的取值范围; (2)证明:【答案】() ,;()(1);(2)详见解析【解析】试题分析:()纵向伸缩或平移: 或;横向伸缩或平移:(纵坐标不变,横坐标变为原来的倍),(时,向左平移个单位;时,向右平移个单位);() (1)由()得,则,利用辅助角公式变形为(其中),方程在内有两个不同的解,等价于直线和函数有两个不同交点,数形结合求实数m的取值范围;(2)结合图像可得和,进而利用诱导公式结合已知条件求解试题解析:解法一:(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像,再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,故,从而函数图像的对称轴方程为(2)1) (其中)依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是.2)因为是方程在区间内有两个不同的解,所以,.当时,当时, 所以解法二:(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为是方程在区间内有两个不同的解,所以,.当时,当时, 所以于是考点:1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式20已知函数,()证明:当;()证明:当时,存在,使得对()确定k的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有【答案】()详见解析;()详见解析;() 【解析】试题分析:()构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可;()构造函数即,求导得,利用导数研究函数的形状和最值,证明当时,存在,使得即可;()由()知,当时,对于故,则不等式变形为,构造函数,只需说明,易发现函数在递增,而,故不存在;当时,由()知,存在,使得对任意的任意的恒有,此时不等式变形为,构造,易发现函数在递增,而,不满足题意;当时,代入证明即可试题解析:解法一:(1)令则有当 ,所以在上单调递减;故当时,即当时,(2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.当时,令得取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.综上,当时,总存在,使得对任意的恒有(3)当时,由(1)知,对于故,令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,所以满足题意的t不存在.当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有此时,令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在.当,由(1)知,令,则有当时,,所以在上单调递减,故,故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意.综上,.解法二:(1)(2)同解法一.(3)当时,由(1)知,对于,故,令,从而得到当时,恒有,所以满足题意的t不存在.当时,取由(2)知存在,使得.此时,令,此时 ,记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在.当,由(1)知,令,则有当时,,所以在上单调递减,故,故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意综上,.考点:导数的综合应用21本题设有三个选考题,请考生任选2题作答.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵()求A的逆矩阵;()求矩阵C,使得AC=B.【答案】(); ()【解析】试题分析:因为,得伴随矩阵,且,由可求得;()因为,故,进而利用矩阵乘法求解试题解析:(1)因为所以(2)由AC=B得,故考点:矩阵和逆矩阵
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