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名校精品资料数学步骤规范练空间向量与立体几何(建议用时:90分钟)一、选择题1已知a,b是平面内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则ca0且cb0是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若l,则l与a,b所在的直线垂直,ca,cb,ca0,cb0,是必要条件;ab,当a与b同向(或反向)时,由ca0且cb0可以推出ca且cb,但不能推出l,不是充分条件答案B2已知二面角l的大小为,m,n为异面直线,且m,n,则m,n所成的角为()A. B. C. D.解析设m,n的方向向量分别为m,n.由m,n知m,n分别是平面,的法向量|cos|cos,或.但由于两异面直线所成的角的范围是,故异面直线m,n所成的角为.答案B3在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC解析若平面PDF平面ABC,则顶点P在底面的射影在DF上,又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心,因此假设不成立,故C不成立答案C4(2013潍坊二模)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出四个命题:若m,n,nm,则;若m,m,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则.其中正确的命题是()A B C D解析命题中,与不一定垂直,不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,命题正确;易知,命题正确,命题不正确故选B.答案B5在以下命题中,不正确的个数为()|a|b|ab|是a,b共线的充要条件;若ab,则存在唯一的实数,使ab;对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若22,则P,A,B,C四点共面;若a,b,c为空间的一个基底,则ab,bc,ca构成空间的另一个基底;|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D5解析|a|b|ab|a与b共线,但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立,故不正确;b需为非零向量,故不正确;因为2211,由共面向量定理知,不正确;由基底的定义知正确;由向量的数量积的性质知,不正确答案C6如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(1,0,0),(1,1,1),(1,0,2),3,|,|,cos.即OE与FD1所成的角的余弦值为.答案D7已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析设A1在面ABC内的射影为O,过O作OHBC交AB于点H,以O为坐标原点,OA,OH,OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ABC边长为1,则A,B1,.面ABC的法向量n(0,0,1),则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin |cos|.答案B8如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题:点M到AB的距离为;三棱锥CDNE的体积是;AB与EF所成的角是其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析依题意可作出正方体的直观图如图,显然M到AB的距离为MC,正确;而VCDNE111,正确;AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角,即为,正确答案D9正ABC与正BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为 ()A. B. C. D.解析取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC1,则A,B,D.,.由于为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1,1),cos,sin.答案C10正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2,E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析如图,取AB的中点E,建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),F(1,0,1),B1(1,0,2),A1(1,0,2),C1(0,2),G.(2,0,1),(1,0,1),设平面GEF的一个法向量为n(x,y,z),由得令x1,则n(1,1),设B1F与平面GEF所成角为,则sin |cos|.答案A二、填空题11在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_解析如图所示,建立空间直角坐标系,且设正方体的棱长为1,DB1平面ACD1,取平面ACD1的法向量n(1,1,1),又(0,0,1),若设BB1与平面ACD1所成角为,则sin |cos|,cos .答案12(2014南京一模)P是二面角AB棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa,PNb,如图,作MEAB于E,NFAB于F.EPMFPN45,PEa,PFb,()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0,二面角AB的大小为90.答案9013如图,在矩形ABCD中,AB3,BC1,EFBC且AE2EB,G为BC的中点,K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB,此时KG的长为_解析如图,过K作KMEF,垂足M为EF的中点,则向量与的夹角为120,60.又,222211211cos 603.|.答案14(2014梅州模拟)如图,在三棱锥SABC中,SBASCA90,ABC是斜边ABa的等腰直角三角形,给出以下结论:异面直线SB与AC所成的角为90;直线SB平面ABC;平面SBC平面SAC;点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析由题意知AC平面SBC,故ACSB,SB平面ABC,平面SBC平面SAC,正确;取AB的中点E,连接CE,可证得CE平面SAB,故CE的长度即为C到平面SAB的距离,为a,正确答案三、解答题15如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PB与底面成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABCBAD90,PABCAD1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE平面PAB?若存在,求出E点的位置,若不存在,请说明理由解分别以,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则(0,y,z1),(0,2,1),y(1)2(z1)0,(0,2,0)是平面PAB的法向量,(1,y1,z),由CE平面PAB,可得.(1,y1,z)(0,2,0)2(y1)0.y1,代入式得z.E是PD的中点,即存在点E为PD中点时,CE平面PAB.16(2013福建卷节选)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱AA1底面ABCD,ABDC,AA11,AB3k,AD4k,BC5k,DC6k(k0)(1)求证:CD平面ADD1A1;(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为,求k的值(1)证明取CD的中点E,连接BE,如图1.图1ABDE,ABDE3k,四边形ABED为平行四边形,BEAD且BEAD4k.在BCE中,BE4k,CE3k,BC5k,BE2CE2BC2,BEC90,即BECD,又BEAD,CDAD.AA1平面ABCD,CD平面ABCD,AA1CD.又AA1ADA,CD平面ADD1A1.(2)解以D为原点,的方向为x,y,z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),于是(4k,6k,0),(0,3k,1),(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x,y,z),则由得取y2,得n(3,2,6k)设AA1与平面AB1C所成角为,则sin |cos|,解得k1,故所求实数k的值为1.17(2014济南质检)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC45,PAAD2,AC1.(1)证明:PCAD;(2)求二面角APCD的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长(1)证明如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意,得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,0,P(0,0,2)易得(0,1,2),(2,0,0),于是0,所以PCAD.(2)解(0,1,2),(2,1,0)设平面PCD的法向量n(x,y,z),则即不妨令z1,可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cos,从而sin.所以二面角APCD的正弦值为.(3)解设点E的坐标为(0,0,h),其中h0,2由此得.由(2,1,0),故cos所以cos 30,解得h,即AE.18(2013广东卷)如图1,在等腰直角三角形ABC中,A90,BC6,D,E分别是AC,AB上的点,CDBE,O为BC的中点将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥ABCDE,其中AO.(1)证明:AO平面BCDE;(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值
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