134 课题学习最短路径问题此时桥到这两村庄的距离之和最短理由: 两点之间线段最短.i 能利用轴对称解决简单的最短路径 问题，体会图形的变化在解决最值问题中的 作用，感悟转化思想.（重点）2利用轴对称将最短路径问题转化为 “两点之间，线段最短”问题.（难点）方法总结：求直线异侧的两点与直线上点所连线段的和最小的问题，只要连接这一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者， 名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦， 求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边 I饮马，然后到 B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路 线全程最短？两点，与直线的交点即为所求.【类型二】问题2运用轴对称解决距离最短在图中直线I上找到一点 M使它到A B两点的距离和最小.解析：先确定其中一个点关于直线I的二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】 两点的所有连线中，线段 最短D如图所示，在河a两岸有A B两 个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方 便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最 短，应在河上哪一点修建才能满足要求？ （画出图形，做出说明）对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线I的交点M即为所求的点.解：如图所示：（1）作点B关于直线I 的对称点B; （2）连接交直线I于点M 点M即为所求的点.方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄解析：利用两点之间线段最短得出答案.解：如图所示，连接交直线 a于点P,角形的三边关系求解.A, B,要在河边建一自来水厂向 A村与B村供水.（1）若要使厂址到A, B两村的距离相等, 则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）?（2）若要使厂址到A,B两村的水管最短, 应建在什么地方？A片A %* EFEF 解析：（1）欲求到A、B两村的距离相等, 点A关于直线I的对称点A, A B的连线 交I于点C,则点C即为所求理由：在直 线I上任找一点C（异于点C，连接，C A, C A, C B.因为点A, A关于直线I 对称，所以I为线段的垂直平分线，则有 =，所以一=-=A B又因为点C在 I 上,所以C A= C A .在厶A中，C A - C B = C A - C B v A B,所以 C A C Bv-.即作出的垂直平分线与的交点即可，交点即为厂址所在位置;（2）利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线的对称点A ，再连接AB交于点N,即可得出答案.解：（1）作出的垂直平分线与的交点M交点M即为厂址所在位置；A点关于直线的对称如图所示：作A B交于点N,点N即为所点A,再连接求.【类型四】最大问题运用轴对称解决距离之差H4如图所示，A, B两点在直线两侧，在I上找一点C,使点C到点 的距离之差最大.A *a解析：此题的突破点是作点 A或E）关 于直线I的对称点 A （或B）,作直线 A B（）与直线I交于点C,把问题转化为 三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线I为对称轴，作方法总结：如果两点在一条直线的同 侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线 段的差最大，如果两点在一条直线的异侧， 过两点的直线与原直线的交点处构成的线 段的和最小，都可以用三角形三边关系来推 理说明，通常根据最大值或最小值的情况取 其中一个点的对称点来解决.三、板书设计课题学习 最短路径问题1求直线异侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小的问题，只要连接这两点， 与直线的交点即为所求.2 求直线同侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另 一个点，则与该直线的交点即为所求.通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值.在互动交流活动中，学习从不同角度理解问 题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问 题.体会在解决问题中与他人合作的重要性体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问 题，增强应用数学的意识.