第12章静电场图 12.312.3如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q广1.8X10-9C, B点处有点电荷q = -4.8X10-9C, AC = 3cm, BC = 4cm,试求C点的场 强.2解：根据点电荷的场强大小的公式E - kq = q，其中 1/(4厅 8 ) = k = 9.0X109N m2 C-2.r 2 4 双 r 200点电荷q1在C点产生的场强大小为方向向下.E =J = 9x 109 x L8x10-9 = 1.8x 104(N C-i),14 双 AC 2(3 x 10-2)20点电荷q2在C点产生的场强大小为E = 1 | % = 9 x109 x 4.8 x10-9 = 2.7 x104(N C-1)，方向向右.2 4 脆 BC 2(4 x 10-2)20C处的总场强大小为E = * + E; = 0.9而x 104 = 3.245 x 104(N - C-1), 总场强与分场强E2的夹角为。=arctan E = 33.69 .212.4半径为R的一段圆弧，圆心角为60, 一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+4和，求圆心处的场强.解：在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为dq = A ds,在O点产生的场强大小为dE = L祟 =L*S = * d0 , 场强的分量为 dE =4双R 2 4双R 24双Rx000dEcos , dE = dEsin .对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧 形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为 E = 2E =j dE sin 9y l=-sin9 d9 =- (- cos9)2双R2双R00012.5均匀带电细棒，棒长a = 20cm,兀/60电荷线密度为A = 3X10-8C m-1,求：E =14双3 l)24双 x l0 - L0(1) 棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；(2) 棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强.解：(1)建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m), x = L+q = 0.18(m).在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq = A dl,根据点电荷的场强公式，电荷元在七点产生的场强的大小为dE _k dq _ 人dl1r24ks (x 一 l)20场强的方向沿x轴正向.因此七点的总场强大小通过积分得_ 人Ldl人 1X 1112LX()=4K8 X 一 L x + L4K8 x2 L将数值代入公式得P1点的场强为 -c 52 x 0.1 x 3 x 10-8气=9 x 109 x 0182 一012 = 2.41X103(NC-i)，方向沿着 x 轴正向.(2)建立坐标系，y = d.在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = X dl，在棒的垂直 dqX dldE2 =七=&T TT， 0=(2平分线上的P2点产生的场强的大小为将数值代入公式得P2点的场强为E = 9 x 109 x2 x 0.1 x 3 x 10 -8=5.27X 103(NC-1) .方向沿着y轴正向.0.08(0.082 + 0.12)1/2由于L = c/2，x = L+中代入式，化简得a X 1讨论(1)X E =1 4K8 d d + a 4K8 d d / a +10 110 11X保持di不变，当a8时，可得E1 耳说J01这就是半无限长带电直线在相距为di的延长线上产生的场强大小. (2)由式得1Ey 4双 d0 2X1d2 + (a/2)24气d(d /a)2 + (1/2)2，E x 0 2 2y 2双d0 2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系E12.6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问0为何值时，圆心0点处的场强为零.当a8时，得解：设电荷线密度为人，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.在圆 弧上取一弧元ds =R d0，所带的电量为dq = X ds,在圆心处产生的 场强的大小为图 12.6广2EX ds人4,4双R0dE = k dq r 24双0由于弧是对称的，场强只剩X分量，取x轴方向为正，场强为dEx = -dEcos0 .总场强为RO人 2兀-0/2一人E = J cos 中d中=sin 甲x 4双R4赤R00/20方向沿着x轴正向.2兀-0/20 /2入. 0 sin 2K8 R 2 0再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.入带电直线在延长上O点产生的场强大小为E =-一-4双R0根据上一题的公式可得半无限长由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为c 0X0E = ZEcos = -cos，方向沿着x轴负向.x22 双 R 2当。点合场强为零时，必有E = E，可得tan。/2 = 1, 因此 0 /2 = n /4,所以。=n /2.12.7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为O 如图所示.试求：(1) 平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强.(2) 通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.E解：(1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，IX荷的线密度为d4 =。dx，根据直线带电线的场强公式E = 2兀8 r0bad电得带电直线在P点产生的场强为dXb dxdE =-r-z，其方向沿x轴正向.2兀8 r 2兀8 (b/2 + a x)00由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 b bJ21,E = J d x2兀8b/2 + a x0 b/2=ln(1 + )2兀8a0场强方向沿x轴正向.(2)为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为dX =。d x，带电直线在Q点产bln( b / 2 + a x)2兀80b/2-b/2dX生的场强为dE =2兀8 r2兀8 (b2 + x2)1/200沿Z轴方向的分量为dE = dE cos 0xrOby6 zQ dE，b cos0 dx2兀8 (b 2 + x 2)1/2 0dd0 /cosO ，因此设 x =dtanO，则dxdE = dE cos 0 = d0z2兀80 arctan( b/2 d)bJ d0 2兀8 arctan( b/2 d)0积分得E =zb , b、 arctan() 兀82d0，场强方向沿Z轴正向.讨论(1)当b-0时，薄板单位长度上电荷为X =。b，式的场强可化为E = m(1 + b I a)，2兀8 a b / a0 薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为入 E 2K8 a 0 这正是带电直线的场强公式. (2)也可以化为E=；竺普也， z 2双 db 12d0当b-0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为E T，这也是带电直线的场强公式. z 2K8 d 0 b当b8时，可得E 20 这是无限大带电平面所产生的场强公式.12.8 (1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一 面的电通量是多少？(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解：点电荷产生的电通量为0e = q/E 0.(1) 当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为01 = 0e/6 =q/6E o6(2) 当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中， 通过每个面的电通量为01 = 0e/24 = q/24E 0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零.12.9面电荷密度为O的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R为半径作一半球面，如图所示.求通过此半球面的电通 量.解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个 球面.球面内包含的电荷为q = n R20， 通过球面的电通量为0e = q/E 0，通过半球面的电通量为0 e = 0e/2 = n R20 /2e 0.12.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度 的电量为A和T，求(1)r R1；(2)R1 R2处各点的场强.解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性.(1) 在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，(r R1).(2) 在两个圆柱之间做一长度为1，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q = X l，穿过高斯面的电通量为I=E - d S = E - d S = E 2n rl,根据高斯定理0 e = q/E 0，所以E = ， (R1 r R2).12.11 一厚度为d I的均匀带电无限大平板，电荷体密度为p，求板内外各点的场强.解：方法一：高斯定理法.(1)由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E.在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向 平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为=j E dS =j E dS + j E dS + j E dS = ES + ES + 0 = 2ES，e SSiS2S0高斯面内的体积为V = 2rS，包含的电量为q =p V = 2p rS,根据高斯定理e = q/E 0，可得场强为 E = p r/s 0，(0MrMd/2)(2)穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为0 = 2ES， e高斯面在板