专题五 猜想、探究与证明猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型，由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以往往作为中考试卷中的压轴题出现，主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识纵观贵阳5年中考，只有2013年考查了猜想、探究问题，设置在第24题，以解答题的形式出现，分值为12分预计2017年贵阳中考，猜想、探究与证明题型将是重点考查内容，复习时要加大训练力度,中考重难点突破) 与三角形有关的猜想与探究【经典导例】【例】(2013贵阳中考)在ABC中，BCa，ACb，ABc，设c为最长边当a2b2c2时，ABC是直角三角形；当a2b2c2时，利用代数式a2b2和c2的大小关系，探究ABC的形状(按角分类)(1)当ABC三边长分别为6、8、9时，ABC为_三角形；当ABC三边长分别为6、8、11时，ABC为_三角形；(2)猜想：当a2b2_c2时，ABC为锐角三角形；当a2b2_c2时，ABC为钝角三角形；(3)判断当a2，b4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围【解析】(1)由勾股定理的逆定理可知，6，8，10是一组勾股数，最长边10所对的角是直角，而910，所以当ABC的三边长分别为6，8，9时，最长边9所对的角应小于直角；当ABC的三边长分别为6，8，11时，最长边11所对的角大于90；(2)由勾股定理的逆定理可知，当c2a2b2时，ABC是直角三角形此时，C90，则当c2a2b2时，c边所对的角大于90；(3)根据题意先求出c边长的取值范围，然后分三种情况讨论：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形，再具体求出c的取值范围【学生解答】解：(1)锐角；钝角；(2)；(3)bacba，2c6，a2b2c2，即c220，0c2，当2c2时，ABC是锐角三角形；a2b2c2，即c220，c2，当c2时，ABC是直角三角形；a2b2c2，即c220，c2，当2c6时，ABC是钝角三角形1(2016内江中考)问题引入：(1)如图，在ABC中，点O是ABC和ACB平分线的交点，若A，则BOC_902()_(用表示)；如图，CBO3(1)ABC，BCO3(1) ACB，A，则BOC_1203()_(用表示)；(2)如图，CBO3(1)DBC，BCO3(1)ECB，A，请猜想BOC_(用 表示)，并说明理由类比研究：(3)BO，CO分别是ABC的外角DBC，ECB的n等分线，它们交于点O，CBO n(1)DBC，BCOn(1) ECB，A，请猜想BOC_ 解：(2)1203().理由如下：BOC180(OBCOCB)1803(1)(DBCECB)1803(1)(180)1203()；(3)n(n1)180n(). 2(2016泰安中考)(1)已知：ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且DECDCE，若A60(如图)求证：EBAD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若A60”改为“若A90”，其他条件不变，则AD(EB)的值是多少？(直接写出结论， 不要求写解答过程) 证明：(1)过D点作DFBC交AC于点F，则ADDF，FDCECD.又DECECD，FDCDEC，EDCD，又DBEDFC120，DBECFD，EBDF，EBAD；(2)EBAD成立理由如下：过D点作DFBC交AC的延长线于点F，则ADDF，FDCECD.又DECECD，FDCDEC，EDCD，又DBEDFC60，DBECFD，EBDF，EBAD；(3)AE(BD).3【问题探究】(1)如图，在锐角ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AEAB，ADAC，BAECAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；【深入探究】(2)如图，在四边形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm，ABCACDADC45，求BD的长；(3)如图，在(2)的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长 解：(1)BDCE. 理由如下：BAECAD, BAEBACCADBAC，即EACBAD, 又AEAB，ACAD，EACBAD, BDCE; (2)如图，在ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，连接EA，EB，EC. ACDADC45， ACAD，CAD90， BAECAD90，BAEBACCADBAC，即EACBAD, EACBAD(SAS)，BDCE. AEAB7, BE7，AEBABE45， 又ABC45， ABCABE454590， EC， BDCE cm，BD的长是 cm； (3)如图，在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，BAE90， 又ABC45， EABC45， AEAB7，BE7， 又ACDADC45， BAEDAC90， BAEBACDACBAC，即EACBAD, EACBAD, BDCE, BC3, BDCE73(cm)，BD长是(73)cm.4(2016河南中考)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于_CB延长线上_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_ab_. (用含a，b的式子表示) (2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE. 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标 解： DCBE.理由如下： ABD和ACE为等边三角形， ADAB，ACAE, BADCAE60， BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB. DCBE； BE长的最大值是4；(3)AM的最大值为32，点P的坐标为(2，) 5(2016丹东中考)如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；(2)现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转(090)，得到图，AE与 MP，BD分别交于点G，H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由；(3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BCkAC，CDkCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明 解：(1)PMPN，PMPN；(2)(1)中的结论成立理由如下：设BC与AE交于点O.ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90，ACBBCEECDBCE，ACEBCD，ACEBCD，AEBD，CAECBD.又AOCBOE，CAECBD，BHOACO90.点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，PM2(1)BD，PMBD；PN2(1)AE，PNAE，PMPN，MGEBHA180，MGE90，MPN90，PMPN；(3)PMkPN.理由如下：ACB和ECD是直角三角形，ACBECD90，ACBBCEECDBCE，ACEBCD.BCkAC，CDkCE，AC(BC)CE(CD)k，BCDACE，BDkAE.点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，PM2(1)BD，PN2(1)AE，PMkPN. 与四边形有关的猜想与探究6(2015威海中考)猜想与证明： 如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论 拓展与延伸： (1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为_；(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立 解： 猜想与证明 DMME.证明：如图1，延长EM交AD于点H, 四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFMHAM, 又FMEAMH，FMAM，在FME和AMH中， FMEAMH，(FMAM，)FMEAMH(ASA)HMEM, 在RtHDE中，HMEM，DMHMME，DMME.拓展与延伸(1)DMME且DMME；(2)如图2，连接AE, 四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE45，FCA45， AE和EC在同一条直线上，在RtADF中，AMMF，DMAMMF, 在RtAEF中，AMMF，AMMFME, DMME. 7(2016龙东中考)已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C 重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1，易证OEOF；(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？请写出对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明 解：(2)图2中的结论为：CFOEAE.图3中的结论为：CFOEAE.选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAOGCO，EOAGOC，OAOC，EOAGOC，EOGO，AECG，在RtEFG中EOOG，OEOFGO，OFE30，OFG9