专题突破练22圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018山东烟台二模,理20)已知圆C:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆上一动点,点E在线段FP上,点Q在半径CP上,且满足=2=0.(1)当P在圆上运动时,求点Q的轨迹的方程;(2)设过点A(2,0)的直线l与轨迹交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线交l于点M,与y轴交于点H,若=0,求点M横坐标的取值范围.2.(2018河南六市联考一,理20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧MN的长度为S,当直线l绕F点旋转时,求的最大值.3.已知椭圆C:=1(a0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:N,F,Q三点在同一条直线上.4.(2018全国卷3,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.6.(2018山东潍坊一模,理20)如图,椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,P为椭圆C上任一点(不与A,B重合).已知PF1F2的内切圆半径的最大值为2-,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过点B且垂直于x轴,延长AP交l于点N,以BN为直径的圆交BP于点M,求证:O,M,N三点共线.参考答案专题突破练22圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)由题意知,直线EQ为线段FP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QF|=4|CF|=2.所以点Q的轨迹是以点C,F为焦点,焦距为4,长轴为4的椭圆,所以a=2,c=1,b=,故点Q的轨迹的方程为=1.(2)由题意直线l的斜率存在,设为k,于是直线l的方程为y=k(x-2)(k0),设B(x1,y1),联立得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.因为A(x1,y1),由根与系数的关系得2x1=,x1=,y1=,设M的横坐标为x0,则M(x0,k(x0-2),MH所在直线方程为y-k(x0-2)=-(x-x0),令x=0,得yH=k+x0-2k,于是=(1-x1,-y1)(1,-yH)=0,即1-x1+y1yH=1-k+x0-2k=0,整理得x0=,k20,(0,1),x00)的焦点在x轴上,a27-a2,即a2,椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,a2-(7-a2)=1,解得a2=4,椭圆C的标准方程为=1.(2)证明 由题知直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),则得3x2+4k2(x-4)2=12,即(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,0,x1+x2=,x1x2=,由题可得直线QN方程为y+y1=(x-x1),y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),直线QN方程为y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=+x1=1,即直线QN过点(1,0),又椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),N,F,Q三点在同一条直线上.4.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得k=0.由题设知=1,=m,于是k=-由题设得0m,故k-(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=因此AMN的面积SAMN=(2)由题意t3,k0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.由x1(-)=得x1=,故|AM|=|x1+由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=t3等价于=0,即0.由此得解得k2.因此k的取值范围是(,2).6.解 (1)由题意知:,c=a,又b2=a2-c2,b=a,设PF1F2的内切圆半径为r,则(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=(2a+2c)r=(a+c)r,故当PF1F2面积最大时,r最大,即P点位于椭圆短轴顶点时,r=2-,(a+c)(2-)=bc,把c=a,b=a代入,解得a=2,b=,椭圆方程为=1.(2)由题意知,直线AP的斜率存在,设为k,则所在直线方程为y=k(x+2),联立消去y,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,则有xP(-2)=,xP=,yP=k(xP+2)=,得=,又N(2,4k),=(2,4k),则=0,ONBP.而M在以BN为直径的圆上,MNBP,O,M,N三点共线.