(ab)n = an bn要点诠释（1）（2）是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如:(1 )102 )x 210 =(1V。一x 22 )=1.幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点am - an = am+n （其中m, n都是正整数）.即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即 am an ap = am+n+p （ m, n, p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 am+n = am an （ m, n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则（am）n = amn （其中m, n都是正整数）.即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：（am）n）p = amnp （a丰0， m, n, p均为正整数）（2）逆用公式：amn = am ） = an），根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则（其中n是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.公式的推广：（abc）n = an bn cn （n为正整数）.逆用公式：anbn =（ab ）逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其重点四、注意事项(1) 底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.(2) 同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1，算法时不要 遗漏.(3) 幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.(4) 积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.(5) 灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁.(6) 带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题解析】(1 ) 42 x 43 x 44 ； (2) 2a3 - a4 + a5 - a2 - 2a6 -a ；(3) (x + y)n -(x + y)n+1 - (x + y)m-1 + (x + y)2n+1 - (x + y)m-1.【标准答案与解析】解：(1)原式=42+3+4 = 49.(2) 原式=2a3+4 + a5+2 2a6+1 = 2a7 + a7 2a7 = a7 .(3) 原式=(x + y)n+n+1+m-1 + (x + y)2n+1+m-1 = (x + y)2n+m + (x + y)2n+m = 2(x + y)2n+m .【总结升华(2) (3)小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的 运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则.在第(2)小题中a的 指数是1.在第(3)小题中把x + y看成一个整体.举一反三：【变式】算法：(1) 35 - (-3)3 - (-3)2 ；(2) xp -(-x)2p -(-x)2p+1 ( p 为正整数)；(3) 32x (-2)2n (-2) (n 为正整数).【标准答案】解：(1)原式35 - (3)3 - 32 = 35 - 33 - 32 = 35+3+2 = 310 .(2)原式xp - X2P - (x2P+1) xp+2P+2p+1 x5p+1 .【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x+2 = 2x -22【标准答案与解析】解：由 2x+2 20 得 2x - 22 20 .2x 5 .【总结升华(1)本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力.(2)同底数幂的 乘法法则的逆运用：am+n = a皿-an .(1) (am)2 ； (2) (m)34 ； (3) (a3-m)2.【思路点拨】此题是幂的乘方运算，(1)题中的底数是a , (2)题中的底数是m , (3)题 中的底数a的指数是3-m，乘方以后的指数应是2(3一m) 6一2m .【标准答案与解析】解：(1) (am)2 a2m .(2) (m)34 (m)12 m12.(3) ( a 3m )2 a 2(3 m) a 62 m .【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方 与同底数幂的乘法混淆幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式 或多项式.解：X 2 m = 5 ,. 5 X 6 m 一 5 = 5( X 2 m)3 一 5 = 5 X 53 - 5 = 20 .【总结升华】(1)逆用幂的乘方法则：amn = (am ) n = 0n)m .(2)本题培养了学生的整体 思想和逆向思维能力.举一反三:【变式1】已知Xa = 2 , Xb = 3 .求x3a+2b的值.【标准答案】解：X3a+2b = X3a g X2b = (xa)3 g (Xb)2 = 23 X 32 = 8 X 9 = 72 .【变式2】已知8m = 4 , 8n = 5，求83m+2n的值.【标准答案】解：因为 83m = (8m)3 = 43 = 64 , 82n = (8n)2 = 5 = 25 .所以 83m+2n = 83m X 82n = 64 X 25 = 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：(1) (ab)2 = ab2 ；(2) (4ab)3 = 64a3b3 ；(3) (-3x3)2 = -9x6.【标准答案与解析】解：(1)错，这是积的乘方，应为：(ab)2 = a2b2.对.(3)错，系数应为9,应为：(-3X3)2 = 9X6.【总结升华(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.(2) 注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1) (b + 2)3 - (b + 2)5 . (b + 2)；(2) 3-2y)2 .(2y-却.【标准答案与解析】解：(1) (b + 2)3 . (b + 2)5. (b + 2) = (b + 2)3+5+i = (b + 2)9.(2) (x-2y)2 . (2y-x)3 = (x-2y)2 .-(x-2y)3 = -(x-2y)5.【总结升华】(1)同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式.（2）在幂的运算中，经常用到以下变形:-an（n为奇数）,(a 一 b) n =(b - a) n (n为偶数)类型二、幂的乘方法则2、算法:(1) -(a b)23 ；(2) (y3)2 + (y2)3 2y g y5 ；(3) (X2m2)4 . (Xm+1)2 ；(4) (X3)2 . (X3)4 .【标准答案与解析】解：(1) (a b)23 = -(a b)2、3 = -(a b)6.(2) (y3)2 + (y2)3 2y . y5 = y6 + y6 - 2y6 = 2y6 - 2y6 = 0 .(3) (X2m-2)4 . (Xm+1 )2 = X4(2 m-2) X2(m+1) = X8m-8 X2m+2 = X10m-6(4) (X3)2 . (X3)4 = X6 . X12 = X18 .【总结升华（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的 乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可【思路点拨】由于已知8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把83m+2n变成83m x 82n = (8m )3 x (8n)2，再代入算法.【标准答案与解析】解：因为 83m = (8m )3 = 43 = 64 , 82n = (8n )2 = 52 = 25 .所以 83m+2n = 83m X 82n = 64 X 25 = 1600 .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8m ,8n当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁.举一反三:【变式】已知 a 3m = 2, b 2 m = 3，则(a 2 m ) +(bm ) -(a 2b )m bm【标准答案】一5;提示：原式=Q +(b 2 m ) -(a 3m ) (b 2 m )户=2,般= 3.原式=22 + 33 -22 x32 =5.(1) -(2xy2)4(2) -a2 (-a4b3)33【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法.【标准答案与解析】解：(1) -(2xy2)4 = (-1) - 24 - x4 - (y2)4 =一16x4糜.(2)一a2 - (一a4仞)33 = -(a2)3-(一4129)3 = a6(a36) -b27= a42b27.【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方.（2）注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.举一反三：【变式】下列等式正确的个数是（）.(2 x 2 y 3) = 6 x 6 y 9(a 2 m ) = a 6 m(3a 6) = 3a9(5 X105 )x(7 X107 )= 35 X1035(0.5)。X 2101 = (0.5 x 2 )。x 2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【标准答案】A；提示：只有正确；(2x2y3) = 8x6y9 ； ( a2m ) = a6m ； Ga6) = 27a18 ；X105 )x(7 x107 )= 35 X1012 = 3.5 X1013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am + an = am-n （a手0，m、n都是正整数， 并且m n ）要点诠释（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的。次幂都等于1.即a0 = 1 （a手0）要点诠释：底数a不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积. 因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂1 任何不等于零的数的一n (n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a- = an(a手0, n是正整数).引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的 幂的运算特点仍然成立.aman = am+n (m、n 为整数，a 0)；(ab)m = ambm (m 为整数，a 0, b 0 )(am ) = amn (m、n 为整数，a。0).要点诠释：a-n