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数值计算方法试题一一、填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程X3 + X - 4=0在区间1,2内的根精确到三位小数,需对分()次。2、迭代格式Xk+1=Xk +a旻-2)局部收敛的充分条件是a取值在(X 30 X 11(X 1)3 + a(X 1)2 + b(X 1) + c 1 X 312是三次样条函数,则),b =()。3、已知a =(),b =(),J(l (X),l (X),l (X)X,X,Xv 7 - ,n 是以整数点o,1,n为节点的Lagrange插值基函数,则2X l (X ) =E (X4 + X2 + 3)l (X)=k=0 kJ k (),当 n 22 时 k=0k k k ().+ 2X4 + 3x2 +1 夭心占x = k/2,k = 0,1,2,m| fX,x,x =和节点k则 01 n )。4、01i(x)=k=0()5、设 f(X)= 6 X 7和 & f0 =。6、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数 精度为。7、 k(X)!=0是区间0,1上权函数P(X)=的最高项系数为1的正交多项式族,其中中 0( X)= 1,则M 4(X)dX=.r7X ax = b8、给定方程组aX1 +X2=b2,a为实数,当a满足,且0 o V 2时,SORy0 = y + hf (x,y )n+1nn n=yn + a【f (x, yn) + f (Xg,yn+1)曰迭代法收敛.yf = f(X,y)9、解初值问题y(X0)= y0的改进欧拉法F 阶方法。10、设阵,当其对角线元素li(i =1,2,3)满足( 二、二、选择题(每题2分)时,必有分解式A = LLT,其中L为下三角)条件时,这种分解是唯一的。1、 解方程组Ax = b的简单迭代格式X(k+1)= BX(k) + g收敛的充要条件是().(1)P(A) 1,(2) p(B) 1,(4)P(B) 1b f (x)dx r (b 一 a)EC(n)f (x )2、 在牛顿-柯特斯求积公式:ai=0 中,当系数CW是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿一柯特斯求积公式不使用。心8,n 2 7,心10,心63、有下列数表x00.511。522.5f(X)21.75-10。2524。25所确定的插值多项式的次数是().(1)二次;(2)三次; (3)四次; (4)五次. h h y = y + hf3 +云,y + f3 ,y )4、若用二阶中点公式+1n n (1) 列出Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法的分量形式。 (2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。 n 4 n n 求解初值问题)oy = 2y,y (0) = L试问为保证该公式绝对稳定,步长h的取值范围为( (1)0 h V 2(2) 0 V h V 2,( 3)0 h 2(4)0 h 0)的迭代公式为:x = -2(x + 土) x 0 k = 0,1,2 证明:对一切k =以xk E,且序列KJ是单调递减的, 从而迭代过程收敛。J3f (x)dx M-f (1) + f (2)六、(9分)数值求积公式02是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?rll cond (A)吊 bi 七、(9分)设线性代数方程组AX = b中系数矩阵A非奇异,X为精确解,b丰0,若向量X是AX = b的一个近似解,残向量r = b - AX,证明估计式:(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。八、(10分)设函数f (x)在区间,3上具有四阶连续导数,试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x),并导出其余项。i012xi012f (xi)113f(xi)3九、(9分)设n (X”是区间上关于权函数W( X)的直交多项式序列, Xi (i = L2,n,n + 1)为 n+1( X)*勺零点,li(顷二1,2,n, n +1)是以W为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,(x)w( x)仔A(号为高斯型求根公式,证明:(1)(1)当 0 k,j5, “ j 时,人乩网(土)_)M (x)l, (x)w(x)dx = 0(k 丰 j)四 J bl 2( x) w( x)dx = J bw( x)dx(3)k=1 a ka十、(选做题8分)若 f (x) =3(x) = (x - x )(x - x )(x - x )01求,%,气,,xp的值,其中P - n +1数值计算方法试题三一、(24分)填空题(2分)改变函数f(x)= E + 顷(x 】)的形式,使计算结果较精确(2)(2分)若用二分法求方程f板=0在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,
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