数值分析实验报告 实验课程： 数值计算方法 学生姓名： 何林浩 学号： 13103404 学院： 计算机 日期： 2016年6月11日数值计算方法选题：1：线性方程组的解法雅可比迭代法。雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。它的基本思路是构造一个迭代序列X(k),使得这个序列随着k的增大，逐渐的逼近X*。2：数值积分。定积分是求和式的极限，它的几何意义就是曲边梯形的面积。通常我们采用复化左矩形公式，复化梯形公式，复化辛卜生公式计算得到。雅克比迭代法一：实验目的和方法： 熟悉雅克比迭代法解线性方程组的原理和计算，并使用matalab编程实现该方法。二：实验设备： PC，windows操作系统，matalab2012b三：实验原理和内容： 原理：雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。它的基本思路是构造一个迭代序列X(k),使得这个序列随着k的增大，逐渐的逼近X*。 内容：用雅克比迭代法计算一下方程组，并比较解值与真实值。 方程组： 10x1 - x2 - 2x3 =7.2 -x1 + 10x2 - 2x3 =8.3 -x1 - x2 + 5x3 =4.2 算法步骤： 1：给定初值x1(0),x2(0),x3(0)一次为0，0，0。精度为e,迭代次数为10。 2：对于i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,依此计算。四：matalab编写：X=0,0,0;A=10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5;b=7.2,8.3,4.2;X1=Ab;t=; n=10;for k=1:n for j=1:3 X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:3)*X(1:j-1,j+1:3)/A(j,j); end t=t,X;enddisp(方程组精确解)X1disp(方程组迭代10步解)Xdisp(方程组每次迭代解)t显示结果：方程组精确解X1 = 1.1000 1.2000 1.3000方程组迭代10步解X = 1.1000 1.2000 1.3000方程组每次迭代解ans = 0.7200 0.9020 1.1644 1.0431 1.1672 1.2821 1.0931 1.1957 1.2978 1.0991 1.1995 1.2997 1.0999 1.1999 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000从上面结果可以看出从第一行到第五行逐渐接近精确解，第六行就已经到达精确解。五：实验总结： 雅可比迭代法适合解X(n)收敛的方程组，对于未知数过多的方程组手动计算明显计算量较大，费时费力，采用雅克比迭代法就是一个很好的选择。 但是雅可比迭代法也有其局限和限制，为了防止迭代过程中不收敛或者收敛速度过于缓慢，可以设置最大迭代数来控制计算量，如果需要用更快更短的步骤，可以采用高斯-赛德尔迭代法，其收敛速度更加快于雅可比迭代。 通过这次试验我对雅可比迭代的手动计算方法有了进一步理解，并初步了解了matalab的使用。数值积分一：实验目的和方法： 了解定积分的定义，求定积分的三种方法：复化左矩形公式，复化梯形公式，复化辛卜生公式，了解这三种方法的原理，计算步骤。使用matalab实现三种计算方法。二：实验设备： PC，windows操作系统，matalab2012b三：实验原理和内容： 定积分是求和式的极限，它的几何意义就是曲边梯形的面积。几何意义：从定义可知，定积分分析方法是四步：分割、近似、求和、取极限。分割：将整块曲边梯形面积分成若干份矩形、梯形等。近似：在每个分量中用容易计算的量去代表(每个小块的矩形或者梯形面积)。求和：将分量加起来得到近似值。取极限：得到积分精确值。通常采用以下三种方法：复化左矩形公式，复化梯形公式，复化辛卜生公式1：复化左矩形公式：几何意义：用以下矩形面积代替曲边梯形面积：2：复化梯形公式：几何意义：用以下梯形面积代替曲边梯形面积：3：复化辛卜生公式：几何意义：阴影部分面积为抛物线曲边梯形面积：内容： 分别用三种方法计算：计算积分：y=4/(1+x2);其中x的取值范围为0,1且每隔0.01取一个值四：matalab编写：h=0.01;x=0:h:1;y=4./(1+x.2);format longt=length(x); %数组长度z1=sum(y(1:(t-1)*h %矩形公式1z2=sum(y(2:t)*h %矩形公式2z3=trapz(x,y) %梯形公式z4=quad(4./(1+x.2),0,1) %辛普生公式显示结果：z1 =z2 =z3 =z4 =由计算结果我们可以看出： 复化辛卜生公式计算的精度最高，精确值达到了小数点后第七位，其次是梯形公式，精确到了小数点后第四位，最后是矩形公式，仅精确到了小数点后第一位。五 ：实验总结： 三种公式中复化辛卜生公式计算的精度最高，是因为其插值节点取得更多，这样体现在几何意义上就是每个分量的面积更小更密，这样每个分量的误差就会减小，累积总量误差就会更低，精确度就会更高。如果需要精度更高的公式应该采用牛顿-柯特斯公式。 通过本次实验我更加熟悉了数值积分的三种计算方法原理、几何意义、matalab的简单使用方法。