2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,3,集合B3,4,则AB.2. 不等式 x 1 3 的解集为。3.若复数 z 满足 2z 13 6i （ i 是虚数单位），则 z 。4.若 cos1 ，则 sin。325. 若关于 x 、 y 的方程组 x 2 y 4 无解，则实数 a 。3xay66. 若等差数列 an 的前 5 项的和为 25 ，则 a1 a5 =。7.若 P 、 Q 是圆 x2y22x 4 y4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。8.已知数列 an 的通项公式 an3n ，则 lim a1a2 a3an。nann9.若 x2 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数x项的值为。10. 设椭圆x2y 21 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，2则使得F1F2P 是等腰三角形的点 P 的个数是。11.设 a1, a2 , a6 为1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1a2 a3a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。12.设 a ， bR ，函数 f ( x) xab 在区间 1,2上有两个不同的零点，x则 f1 的取值范围为。二、选择题13. 函数 f ( x) x 1 2 的单调递增区间是（）。(A) 0,(B) 1,(C),0 (D),114. 设 aR ，“ a0”是“ 10 ”的（）。a(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件15. 过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A) 三角形 (B) 长方形 (C) 对角线不相等的菱形 (D) 六边形16. 如图所示，正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2 . 若 P 为该正八边形上的动点，则 A1 A3 A1P 的取值范围为（）(A)0, 862 (B)22, 862(C)862, 22 (D)862,862三、解答题17. 如图，长方体 ABCD A1 B1C1D1 中，ABBC2, AA13.（ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（ 2）求异面直线 A1C 与 DD 1 所成角的大小 .18. 设 a R , 函数2xa.f (x)12x（1）求 a 的值，使得 f ( x) 为奇函数；（2）若 f xa2 对任意 xR 成立，求 a 的取值范围 .219. 某景区欲建造两条圆形观景步道 M 1 、M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆 M 1 与 AB 、AD分别相切于点 B、D，圆 M2与 AC、 AD分别相切于点 C、D.（ 1）若 BAD 60 ，圆 M 1 和圆 M 2 的半径（结果精确到 0.1 米）；（ 2）若观景步道 M 1 与 M 2 的造价分别为每米 0.8千元与每米 0.9 千元。如何设计圆 M 1 、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？ （结果精确到 0.1 千元）。220. 已知双曲线： x2y2 1 （ b 0 ），直线 l ： y kx m （ km 0 ），bl 与交于 P 、 Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N 0, n .（1）若点 2,0 是 的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若 b1，点 P 的坐标为 1,0 ，且 NP3 PQ ，求 k 的值；2（3）若 m2 ，求 n 关于 b 的表达式。21. 已知函数 f x log 2 1x1x（1）解方程 f x1 ；（2）设 x1, 1， a1,，证明： ax 11,1 且axfax 1f xf1;a xa（3）设数列 xn中， x11, 1 ， xn 11 n 1 3xn1 ， nN * , 求 x1 的取值3xn范围，使得 x3xn 对任意 nN* 成立.2017 年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,3,集合B3,4,则AB.【知识点】集合的运算【解】 A B 1,2,33,4 1,2,3,4 ，故 A B 1,2,3,4 .2. 不等式 x 1 3 的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】 x 1 33x 132 x 4 ，故原不等式的解集为2,4 。3. 若复数 z 满足 2z136i （ i 是虚数单位），则 z 。【知识点】复数的基本概念、运算【解】 2z46i ， z2 3i ，故 z 2 3i 。4. 若 cos1 ，则 sin。32【知识点】诱导公式【解】 sincos1 ，故 sin21 .2335. 若关于 x 、 y 的方程组 x 2 y 4 无解，则实数 a 。3xay6【知识点】线性方程组解的判定【解】方程组x2 y4 无解直线 l 1 ： x2y 4 与直线 l2 ： 3x ay 63xay6互相平行，所以 3a6 ，解得 a6 。1246. 若等差数列 an 的前 5 项的和为 25 ，则 a1 a5 =。【知识点】等差数列的前 n 项和，等差中项【解】由 S5 5a325 得 a35 ，所以a1 a5 2a3 10，故 a1 a5 10 .7. 若 P 、 Q 是圆 x2y22x4 y 4 0上的动点，则PQ 的最大值为。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由 x2y 22x 4 y 40 得 x 1 2y 2 21，所以半径 r1，故 PQ的最大值为 2.8. 已知数列 an 的通项公式 an3n ，则 lim a1a2 a3an。nan【知识点】等比数列的前n 项和，数列极限【解】由 an3n 得首项 a13 ，公比 q31，所以 a1a2a3an3 13n3n，1323 1a1a2a3an33n1313故 limlim2limn1nnann3n2322n9. 若 x的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数x项的值为。【知识点】二项式定理n【解】令 x1 ，则 x23n729 ，解得 n6 ；x6r所以 x2展开式的通项 Tr 1C6r x6 r2C6r 2r x6 2rxx令 r3，则 T4C63 23160, 故所求的常数项为 160.10. 设椭圆 x2y 21 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，2则使得F1F2P 是等腰三角形的点P 的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想【解】由x22y21得 a22, b21 ，所以 ca2b21，故F1F22c2 且F11,0 , F21,0.（1）若点P 位于椭圆的短轴的端点处，F1F2 P 是等腰三角形， 此时点P 有两个；（2）若点 P 在椭圆上，则 PF2 max 21； PF2 min21 . ，所以21F1F22 1, F1F2 为两腰、 PF2 为底边构成, 故以 PF1等腰三角形， 此时点 P 有两个；同理以 PF