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剖析初中数学中的中点“中点”问题的教学探索 :本文基于教学实践和反思提出了在初中数学教学中对“中点”的一些认识。并对中点问题进行了详细分类,对每种类型进行了举例、分析,特别是对各类中点问题的基本思路做了探讨和研究,并且针对学生在解题上存在的问题,提出了中点问题教学的几点建议:在中点问题教学中,要积极培养学生的观察能力,提高学生的图形结合能力。在中点问题教学中,要培养学生的分析能力与概括能力,并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换,从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。在中点问题教学中,要给学生有专题性的训练,从而提高学生解中点问题的能力。 :中点,中线,直角三角形,等腰三角形。 中点在浙教版初中数学各册书中都有出现,是初中数学教学中一个必不可少的重要环节。它在不同的环境中起的作用也不同,主要是结合三角形、四边形、圆的运用,在各类考试中也出现较多中点的运用,纵观近年来的各类考试,无论是中考、还是平时的考试试题,试卷中都有数学中点问题出现,并占有一定的分数比例,有的甚至是考卷中的压轴题。我们不妨称之为“中点问题”“中点问题”往往涉及到几何中平分、平行与垂直等重要关系,因此,探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 中点问题在教学实践中占有重要的地位,因此,我们每个数学教师必须认真研究探讨中点的教学。结合近年来我对中点问题的归纳和分析,认为初中中点问题主要可以分为:三角形中的中点、圆中的中点、四边形中的中点以及综合运用。 一、 中点在三角形中的性质及其运用 初中阶段主要研究的图形是三角形,所以三角形中的中点的运用及其重要,在三角形赋予了中点更深一层次的含义,故在教学实践中占有重要的地位。 1.普通三角形的中线 1.1一条中线 如图所示,D为BC边的中点。作AE垂直BC,发现AE同时作为ABD和ADC的高,而这两个三角形的底边BD和DC又相等,即等底同高,根据三角形面积公式可得: BEDCA 1 SDABD=SDADC 三角形的一条中线平分三角形面积 1.2三条中线 三角形三条中线的交点叫做重心 六个小三角形的面积相等 由中线等分面积可得:s1=s2,s3=s4,s5=s6,s1+s2+s3=s4+s5+s6 代入化简可得s1=s2=s3=s4=s5=s6 重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1。例如:CO:OF=QDBFO和DBCO的高相等 2:1 SDBFO:SDBCO=FO:CO CO:FO=2:1 A例1、请将三角形ABC分成四个面积相等的三角形 三角形面积相等的问题,在初中阶段和全等有着密切的联系,学生在拿到题目的时候往往会考虑轴对称等方面来找面积相等,其次学生也会考虑三角形等底同高,面积相等来解决这个问题,但容易思维定势成如右图所示的分法,教师在讲解时还需引导学生解题的方法多样性。 首先四等分面积可以分为两步走,先将三角形面积二等分。如图,取BC的中点D,连接AD,根据中线的性质,容易理解三角形ABD和三角形ADC是等底同高的三角形,面积是相等的。 再将两个小三角形再各二等分,从而实现四等分。 如图所示为其中的几种分法。 AABACBDCABDCABDCBDCBDC 2 2.等腰三角形底边上的中点 根据等腰三角形的轴对称性,则有:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称等腰三角形三线合一。 例1、三角形ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是底边BC边的中点,求三角形ABC的面积 分析:在教学时,教师应提出问题,激发学生的求知欲望,让学生思考:从题中的已知条件可以发现这是什么特殊三角形?那么该类特殊三角形在中点又有什么特殊的性质?让学生能够充分体会到中点的运用需结合图形的特殊性。 解:在等腰DABC中 QD为BC边中点 ADBC( 等腰三角形三线合一) , BD=DC=4 DABD为RtD BA根据勾股定理:AD+CD=AC 解得AD=3, QAD0 AD=3 222DC1创83=122 小结:等腰三角形底边上的中线不仅平分底边,而且也平分顶角,将该三角形分成SDABC=1BC?AD2两个全等的RtD,从而当等腰三角形底边上中点出现时,可结合RtD知识解题。 3.直角三角形斜边上的中点 性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 该性质在八年级上册时并没有给出证明,直到八年级下册时才依据矩形给以证明,下面且给另一种证法: 分析图: 作BC中垂线交AC与D 证明:QDF为中垂线 BD=DC(线段中垂线上的点到 3 连接BD说明 ABD和BCD都是等腰三角形说明D点为斜边的中点得出中线特征线段两端点的距离相等) ?3 4 B2 QDABC为RtD ?1?4 ?190,?2?3o90 1ADo3F 2 AD=DB 4C QBD=DC AD=DB=DC 1 D为AC中点且BD=AC 2例2:如图在DABC中,?ACB90o,CDAB于D,CEC是斜边AB上的中线,已知BC=5,CE=6.5, 求CD的长 分析:此题出现了垂直,有子母Rt,所以学生可能一开始会容易想到从勾股定理去求,但是直接计算不可行,再考虑到Rt斜边上高与三边的联系:h=ab,则问题的关键就转化为要求出斜边AB和另一条直角cAEDB边AC,作为一个直角三角形,根据勾股定理,只需知道其中一条便可。 已知条件有斜边上的中线长,那么斜边便迎刃而解了 解:在RtDABC中 QCE是中线 AB=2CE=13(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 根据勾股定理可得AC=12 ACBC60=AB13 小结:中线在直角三角形中主要体现的是2倍的数量关系 CD=4. 三角形的中位线 中位线定理:三角形的中位线平行且相等于第三边的一半 例4、已知,如图,ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点。 求证:四边形EFDG为平行四边形。 分析:本题中出现了多个中点间的连线,即有中位线的存在 学生在看到题目时,容易被题中的多个中点混乱,不知所措,教学时可以启示:由F、G是中点,你能联想到什么?由E、D是中点,你能联想到什么?应用三角形4 的中位线定理,能得到什么? 根据中位线定理,中位线与第三边存在两种关系: 位置关系:平行 数量关系:一半 而所要求证的问题是EF=DG且EFDG,很显然四边形EFGD 必需是平行四边形,而从位置及数量关系都能证明平行四边形, 所以本例证明方法:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明:QE,D为中点 ED为DABC的中位线 B11 ED/BC 同理可得FG/BC 221 ED/FG 四边形EFGD为Y 2FEOGCDA二、 中点在圆中的性质及其运用 1.弦、弧的中点 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 逆定理 1:平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 逆定理 2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 简言之:在圆中,由直径所引发的两种数量关系及一个位置关系:平分弦、平分弧、垂直弦,只要不是直径平分直径,那么知其一,便可得二。 此性质在解决圆中的弦、弦心距、拱高、半径等的计算时,可将圆中的问题化归到特殊三角形问题,对问题的解决可起到不可替代的作用。 例3、如图,CE 为O 的直径E为劣弧AB的中点,AB=8cm, DO=2cm,则求EC的长 题中出现了弧的中点,显然对于我们求圆的直径长没有直接的作用,在教学时,提醒学生转换,根据垂径定理逆定理,我们可以将平分弧转化为垂直弦、平分弦,再连接一条半径,将垂直化归到Rt中去解决 解: 连接AO 1AD=DB=AB=4cmCEAB 2DADO为RtDO A D E B C 根据勾股定理可得:AD+OD=AO即4+2=r+ 222222 5 得:r=25cm 变式:若将题中“DO=2cm”改为“DE=2cm” 分析:如此一改,问题仍然是半径的计算,但学生往往喜欢直接计算,但利用垂径定理及勾股定理显然已经无法直接计算得到半径了,但弦心距OD、拱高DE和半径OE之间的关系仍然没有改变,即:OE=OD+DE,为此可以引导学生用方程思想解决。 解: 设半径为r,则OD=OE-DE=r-2 2 根据勾股定理可得:AD2+OD2=AO2即(42+r-2)=r2 解得:r=5cm 小结:无论是直接计算,还是方程思想,最终解决圆中基本线段的方向是不变的,即化归为Rt去解决 三、 中点在四边形中的性质及其运用 1.梯形中位线 性质:梯形中位线平行于上下底,且等于上下底和的一半。 推论:梯形面积公式:S=上底+下底创高=中位线高 2例5、如图,梯形ABCD中,ADBC,对角线ACBD,且AC5cm,BD12cm, 求该梯形的中位线长. 分析:求梯形中位线有两种方法:上底+下底 2S梯形 高 第二种思想显然在本题中较难运用,而第一种思想初一看也似乎行不通,这个时候我们可以提示学生:题中出现了梯形对角线的特殊位置关系, 所以此题必须作针对对角线的辅助线,结合梯形常作辅助线可以得到,过D作DE/AC交BC延长线于E, 此辅助线的优点:能将两对角线的数量及位置关系传递到一个三角形BDE中,专门解决对角线问题 AD/BC镲镲证明:揶四边形ACED是Y镲AC/DE镲ACBD 轣BDAC/DEDE=AC=5cmAD=CEADDE轉BDE为RtD BC根据勾股定理可得:BE=12cm 6 中位线=AD+CBCE+CBBE=6cm222 变式:如图,梯形ABCD中,ADBC,对角线ACBD,且中位线长为6cm,AC=5cm,求梯形的高 小结:无论用哪种方法,主要是从中位线的数量特征解决,不必确定上下底的准确值,只需求出上底与下底的和,便可求出中位线。 例6、如图,在直角梯形ABCD中,点O为CD的中点。 测量顶点A,B到点O的距离,并做出猜想; 你的猜想正确吗?为什么? 分析:在猜想结论的时候,学生都能猜想到结论AO=BO,但在不作辅助线的情况下是无从下手的,在提示学生观察此题特殊之处是点O为CD的中点,所以不妨取AB边的 中点E,作中位线EO一试 解:测量可猜想出AO=BO EO为中位线EO/AD/BC轣EO梯形ABCD是直角梯形E为AB中点AB揶EO为AB中垂线AO=BOD解法二: 本题中直角梯形的直角和中点O是题目结论成立的关键,解法一中首先抓住中点这一特征,围绕它作中位线,得以解决,提问
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