洛阳市2020学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数. 的子集个数为 故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（ ）A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求的共轭复数即可详解： 则的共轭复数对应的点在第四象限.故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3. “”是“”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出m，n的大小关系，进而判断出结论详解： ， ，“”是“”的的充分不必要条件故选C点睛：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4. 设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若，则，.A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算详解：， 点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题5. 九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】B【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为公差为，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升， ，解得，自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为： （升）故选B点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6. 将函数的图像向平左移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ）A. B. 在区间上是增函数C. 是图像的一条对称轴 D. 是图像的一个对称中心【答案】D【解析】分析：利用三角函数的图象平移求得，然后逐一分析四个选项得答案详解：把函数的图像向平左移个单位，得到函数图象的解析式 故A正确；当时，在区间是增函数，故B正确；不是图象的一条对称轴，故C正确； ，是图像的一个对称中心，故D错误故选D点睛：本题考查 型函数的图象和性质，是基础题7. 设双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据，可得为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出详解：，为的中点，由题意可得直线方程为 当时， 设 即 即 整理可得 即 解得。故选C点睛：本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中档题8. 在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，若，则的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.详解： 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A.点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.9. 若 ，则的值为（ ）A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D【解析】分析：先由题意求得 ，再令 ，可得的值详解：根据 ，令 ，可得 再令，可得 故选D点睛：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于基础题10. 在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积详解：三棱锥 设直线 与平面所成角为 ，如图所示；则 由题意且的最大值是，解得 即的最小值为的最小值是，即点到的距离为， 取的外接圆圆心为，作 ， 解得 ； 为的中点， 由勾股定理得 三棱锥的外接球的表面积是 故选B.点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题11. 记数列的前项和为.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题可得 由此可得 又，可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，由此可求.详解：由题数列满足，又，由此可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则 故选A.点睛：本题考查等比数列的通项公式及其前项和公式，属中档题.12. 已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围.详解：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，即其定义域为且，设 （且），则 则在上单调递增，在上单调递减，但且），故的值域为 ，设，则,此时 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，且当时，函数函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围为.故选C.点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题第卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出的值为_【答案】4【解析】分析：利用循环体，计算每执行一次循环后的值，即可得出结论详解：第一次循环，；第二次循环， ；第三次循环， ；第四次循环， ，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：点睛：本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构14. 设，满足约束条件，则的最大值为_【答案】1【解析】分析：由约束条件作出可行域，可知z恒大于等于0，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域，可知z恒大于等于0，则目标函数的几何意义是可行域内（包括边界）的点与点连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线， 故答案为1 .点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】分析：由三视图可得：该几何体为左右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥利用体积计算公式即可得出详解：由三视图可得：该几何体为左右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥该几何体的体积 故答案为点睛：本题考查了圆锥与三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16. 已知椭圆的焦点为，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且与，轴分别交于点，设为坐标原点，当的面积最小时，则此椭圆的方程为_【答案】【解析】分析：先根据定积分求出c，由题意，切线方程为 利用基本不等式，结合（为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出 ，问题得以解决详解：由椭圆的焦点为 ，可设椭圆的方程为 直线与椭圆相切，则切线方程为 当且仅当时取等号，此时的面积最小，设 由余弦定理可得，的面积 故椭圆的方程为，故答案为.点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：（1）利用已知条件，通过正弦定理以及余弦定理转化求角的大小；（2），利用正弦定理以及三角形的面积转化求解即可详解：（1）由，由正弦定理得，即，所以，.（2）由正弦定理，可得，所以 .又，解得.点睛：本题考查正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力18. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的摄影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）先证明. 结合，得平面，又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.试题解析：（1）设点在平面上的射影为点，连接则平面，所以. 因为四边形是矩形，所以，所以平面，所以. 又，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.因为平面 ，又DMDE=D所以平面 ，所以为二面角的平面角. 设，则.在中，易求出，.在中，所以. 方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，所以，.由（I）知，又，所以，那么，所以，所以，. 设平面的一个法向量为，则即取，则，所以. 因为平面的一个法向量为，所以.所以求二面角的余弦值为. 点睛：此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，从而求二面角的相关值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这