最新北师大版数学精品教学资料4简单计数问题1进一步理解计数原理和排列、组合的概念(重点)2能够运用原理和公式解决简单的计数问题(难点)基础初探教材整理简单计数问题阅读教材P18P21，完成下列问题1计数问题的基本解法(1)直接法：以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_(又称元素分析法)或以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_(又称位置分析法)(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数【答案】(1)元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2解决计数问题应遵循的原则先_后一般，先_后排列，先_后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步【答案】特殊组合分类5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是()A120B72C60D36【解析】分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共有CA种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A种排法由分类加法计数原理，得共有放法总数CAA60种【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型排列问题某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种B960种C1 008种D1 108种【精彩点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工【自主解答】(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案ACA192种；(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有ACA192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4ACA192种；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4ACCA432种所以共有1921921924321 008种【答案】C1本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)进行讨论2较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法再练一题1由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是() 【导学号：62690018】A72B96C108D144【解析】第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有AA种；1,3,5均不相邻，有A种故总的排法为A(AAA)108种，故选C.【答案】C组合问题某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选【精彩点拨】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素【自主解答】(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人由分步乘法计数原理，得CC种(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人由分步乘法计数原理，得CC种(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共CC种，即C种(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有CCCC种，或CCC种(5)某3人可除外，故共有CC种，即C种(6)CCC种，即CC种解答组合应用题的总体思路1整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理2局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理再练一题2将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种B112种C20种D56种【解析】不同的分配方案共有CCCCCCCC112(种)【答案】B探究共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有A210(个)不同结果这个问题属于排列问题完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取(2)采用先选后排的方法(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1按事情发生的过程进行分步2按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数再练一题3某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有()A16种B36种C42种D60种【解析】若选择了两个城市，则有CCA36种投资方案；若选择了三个城市，则有CA24种投资方案，因此共有362460种投资方案【答案】D构建体系1(2016长武高二检测)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A14B24C28D48【解析】(间接法)：6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以至少有1名女生的选派方案有CC14(种)【答案】A2在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A6个B9个C12个D18个【解析】由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有AA12(个)【答案】C36个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答). 【导学号：62690019】【解析】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A种方法，所以共有：AA480.【答案】4804将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)【解析】有CCA36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数【答案】365车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法【解】法一：设A，B代表两名老师傅A，B都不在内的选派方法有：CC5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：CCC10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：CCC30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：CACC80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：CCC20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：CCC40(种)所以共有CCCCCCCCCACCCCCCCC185(种)选派方法法二：5名钳工有4名被选上的方法有：CC75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：CCC100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：CCC10(种)所以一共有7510010185(种)选派方法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()ACCBCACCACADAA【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种故有CA种【答案】B2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有()A22种B56种C210种D42