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“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解 , 下面通过典型例子加以解决。例 1、 ( 1 ) 12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?( 2) 12 个相同的小球放入编号为1, 2 , 3, 4 的盒子中,问不同放法有多少种?(3)12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种?解: ( 1 ) 将 12 个小球排成一排,中间有11 个间隔,在这11 个间隔中选出 3 个,放上“隔板”,若把“ 1”,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有C131 =165 种。1(2)法1:(分类)装入一个盒子有 C44种;装入两个盒子,即 12个相同的小球装21入两个不同的盒子,每盒至少装一个有 C4C1166种;装入三个盒子,即12个相同的小球32装入二个不同的忌子,母忌至少装一个有C4C11 =220种;装入四个盒子,即 12个相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有C131165 种 ; 由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。法 2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的12 个小球任意装,即 16 个小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有C135455 种。( 3) 法 1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩 2 个小球,则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子,共有C41C4210种。法 2:先给每个盒子装上比编号小1 的小球,还剩 6 个小球,则转化为将6 个相同的小球装3入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2 要比法 1 简单,即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例 2、(1 )方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组?(2) 方程 x1 x2 x3 x410 的非负整数解有多少组?( 3)方程 2x1 x2x3Lx103 的非负整数整数解有多少组?解:(1 )转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,有C9384 种,所以该方程有84 组正整数解。( 2) 转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子,可以有空盒,先给每个小盒装一个,进而转化为 14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,有C133286 种,所以该方程有 286 组非负整数整数解。( 3 ) 当 x10 时,转化为 3 个相同的小球装入 9 个不同的盒子,可以有空盒,有C131165 种。1当 x11 时,转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子,可以有空盒,有C9 =9 种;所以该方程有165+9=174 组非负整数整数解。例 3、已知集合 ,选择 的两个非空子集 A, B ,且 A 中最大的元素比B 中最小的元素小,则选择方法有多少种?解:由题意知 A, B 的交集是空集,且 A, B 的并集是 的子集 C ,所以 C 至少含有两个元素,将 C 中元素按从小到大的顺序排列,然后分为两部分,前边的给A ,后边的给B , A, B 至少含有 1 个元素,设C 中有 n 个元素,则转化为n 个相同的小球装入 2 个不同的盒子,则有Cn1种装法,故本题有C52C53C21C54C31C55C4149种选择方法。总之,凡是处理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时,可用插“隔板”,若出现每组元素数目为 0 个时,向每组元素数目至少一个的模型转化,然后用“隔板”法加以解决。
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