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中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y=2(x3)24的最小值为 【例题2】(2018)如图,AB是O的弦,AB=5,点C是O上的一个动点,且ACB=45,若点M、N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是 【例题3】(2019)已知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点,问AQQC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由练 习1.(2018)要使代数式有意义,则x的( )A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为2.(2018)不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为_。3.(2018)设a、b为实数,那么的最小值为_。4.(2018)如图,MN是O的直径,MN=4,AMN=40,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为 5.(2018)某水果店在两周,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?6.(2018荆州)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为,。(1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?7.(2018)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少?8.(经典题)求的最大值与最小值。9.(经典题)求代数式的最大值和最小值。10.(经典题)求函数的最大值。11. (2018)已知x、y为实数,且满足,数m最大值与最小值。12.(2019年省市)如图,在RtABC中,A90AB8cm,AC6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DEBC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm)(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值围;(2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少?13.(2019年)如图,在ABC中,A90,AB3,AC4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQBC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x(1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC;(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键14. (2019)如图所示,抛物线过点A(1,0),点C(0,3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值,(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标15.(2019广西省贵港)已知:是等腰直角三角形,将绕点顺时针方向旋转得到,记旋转角为,当时,作,垂足为,与交于点(1)如图1,当时,作的平分线交于点写出旋转角的度数;求证:;(2)如图2,在(1)的条件下,设是直线上的一个动点,连接,若,求线段的最小值(结果保留根号).16.(2019省市)如图,抛物线yx2+bx+c与直线yx+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC已知A(0,3),C(3,0)(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MBMC|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由17.(2019广西贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点的坐标为,且,抛物线图象经过,三点(1)求,两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点,作于点,当的值最大时,求此时点的坐标及的最大值18.(2019)如图,直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线yx2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APBOCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由19.(2019)如图一,抛物线yax2+bx+c过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点(1)求该抛物线的解析式;(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1y2,求P点横坐标x1的取值围;(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求FMN周长的最小值20.(2019)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的边BC在x轴上,ABC90,以A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PDAB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由【例题1】(经典题)二次函数y=2(x3)24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式,可直接得到顶点坐标,从而得出解答二次函数y=2(x3)24的开口向上,顶点坐标为(3,4),所以最小值为4【例题2】(2018)如图,AB是O的弦,AB=5,点C是O上的一个动点,且ACB=45,若点M、N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时,BC最大,当BC最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值如图,点M,N分别是AB,AC的中点,MN=BC,当BC取得最大值时,MN就取得最大值,当BC是直径时,BC最大,连接BO并延长交O于点C,连接AC,BC是O的直径,BAC=90ACB=45,AB=5,ACB=45,BC=5,MN最大=【例题3】(2019)已知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点,问AQ12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由【思路分析】(1)将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值(当然用两根式做更方便);(2)先证四边形AMBD为矩形,再证该矩形有一组邻边相等,即可证明该四边形为正方形;(3)如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE,转化为12PEOB123(m23m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标;(4)解决本问按两步走:一找(如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ12QCQ的直径最小)、二求(由 AQ12QC,解关于t的方程即可)【解题过程】(1)抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,令抛物线解析为ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0,3),3a(01)(03),解得a1抛物线的解析式为y(x1)(x3),即yx24x3yx24x3(x2)21,抛物线的顶点D的坐标为(2,1)综上,所求抛物线的解析式为yx24x3,顶点坐标为(2,1)(2)如答图1,连接AD、BD,易知DADBOBOC,BOC90,MBA45D(2,1),A(3,0),DBA45DBM90同理,DAM90又AMBC,四边形ADBM为矩形又DADB,四边形ADBM为正方形图1(3)如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),PE(m3)(m24m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB123(m23m)32 (m32)2278,当m32时,SPBC有最大值为278,此时P点的坐标为(32,34)(4) 如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,
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