人口预测问题摘要从20世纪70年代后期以来，这三十年的时间里，计划生育政策对建设中国特色社会主义，实现国家富强和民族复兴产生了巨大影响。但是，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国的人口主要矛盾已经不再是增长过快，而是临近超低生育率水平、人口老龄化等问题。本文重点研究了计划生育政策的调整对人口数量、结构的影响。问题一：本文运用灰色预测理论和回归分析法，根据1990-2010年我国人口数量的相关数据，建立人口数量的灰色预测模型和回归模型，采用这两种方法分别对2015年的人口总数进行预测。预测的结果为：灰色预测得到的数据为140613万人，与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.024，该预测值较合理；回归分析法得到的数据为140300万人，与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.021，该预测较合理。两种方法预测得到的数据相近，由于在后续的预测中灰色预测更接近真实值，所以本文采用灰色预测模型进行下面人口结构的分析。问题二：本文针对“二孩”政策对人口变化的影响，结合人口变化中存在的老龄化、性别比例失衡等问题，对中国人口总量及人口分布建立了人口模型进行预测。首先，在中国统计年鉴以及历次人口普查数据的基础上，分析了性别比例、死亡率以及生育率对人口增长的影响。使用Leslie人口模型对人口总量进行预测，Leslie模型可以很好地用于预测人口比例结构。最后采用MATLAB编程对Leslie人口模型实现，对两种政策下人口总量及人口结构进行了预测。问题三：年满30周岁还未婚的男性或女性都称为“光棍”。利用2013年实际的各年龄段男性与女性人数通过Leslie模型预测得到2016年各年龄段的男性与女性人数。利用预测的2016年各年龄段的男性与女性人数作为基础数据用Leslie模型来预测将来50年内的各年龄段男性与女性人数，在30周岁以后的年龄段中观察男性人数比女性人数多于3000万的年限。由作图可知，在未来50年内并不会出现在30周岁以后男性人数比女性人数多于3000万的情况。因此 “中国适婚人口中将出现3000万-4000万的光棍”这个说法并不正确。 关键词：灰色预测理论 回归模型 人口预测 Leslie模型 单独二孩 全面二孩一、 问题重述1.1问题背景我国于2010年和2000年分别进行了全国第六次和第五次全国人口普查，并于2015年进行了全国1%人口抽样调查。请收集相关数据，应用数学建模知识针对以下几个问题，进行建模。1.2问题提出1、应用2000年和2010年人口普查数据，预测2015年人口数量，讨论人口结构相关变化，应用相应数据进行模型验证和改进。 2、我国于2013年制订了“单独二孩”政策，并于2015年实行“全面二孩”政策，请应用数学建模知识，讨论相应政策对人口结构变化的影响。 3、 针对我国人口性别比失衡的问题，有媒体报道“中国适婚人口中将会出现3000到4000万的光棍”，请针对这个报道，应用建模和相关数据，对此问题进行定量分析，是否会真正出现相应的问题。二、问题分析问题一的分析：我国是一个人口大国，人口问题始终是关系着我国发展的关键问题，已成为经济发展中的一个重要组成部分，对我国经济社会的发展有着越来越大的影响，人口问题也是我国的基本问题。合理的人口数量是区域经济发展的主要推动力之一，而过多或过少的人口数量，或者造成巨大的人口压力和生态环境问题，或者造成经济发展动力不足而限制经济发展。因此，准确合理的人口预测是制定区域经济社会发展规划、区域人口政策和进行社会决策的基础和科学依据。人口预测的方法有很多，基于2000年和2010年人口普查数据，结合各种预测模型对原始数据序列的不同要求，可以采用一元线性回归模型、马尔萨斯模型、logistic 模型、灰色模型等 4方法。本文中我们只采用了一元线性回归模型和灰色预测模型来预测2015年人口数量。本文中我们搜集了从1990年至2010年每一年的总人口数，其中1990年、2000年和2010年的人口数是通过全国第四次、第五次和第六次人口普查而得到，其余年份的人口数是通过全国1%人口抽样调查得到。问题二的分析：人口问题一直是人类社会发展的核心，中国是一个人口数量大国，人口政策作为调控人口各项指标的直接手段，关系到中国人口数量、人口规模以及经济、资源、环境的协调发展。题中主要要求对不同生育政策下人口数量和人口规模进行分析预测。近年来，发展较为成熟的人口预测模型主要有BP神经网络模型，Logistic模型，Leslie模型以及GM(1，1)模型等，选取哪种模型进行预测，是首要考虑的问题。BP神经网络模型需要大量的历史数据来进行预测，这些数据的获得比较困难，操作也比较繁琐，长期预测效果不是很好，因此不予考虑。可考虑用Logistic模型和Leslie模型对人口规模进行预测，由于Leslie模型在预测人口数量的同时，对人口结构也能进行很好的预测，可做重点考虑。其次，题中涉及的单独二孩政策，全面二孩政策，如何对这两个政策进行定性及定量分析，怎样区别这两个政策，哪些因素决定着生育政策的不同，这是需要去考虑的。分析政策实施前后人口数量变化趋势，及人口结构的变化，尤其需要具体分析三种政策下人口老龄化程度、人口性别比、人口抚养比等等，从而给出合理化建议，故选用Leslie模型。问题三的分析：由上一问分析可知，不论是实施“单独二孩”政策还是“全面二孩”政策，我国人口性别比将会出现先升高后下降的趋势，最高可达106，会出现男性人口多于女性人口的现象。但是到2050年之后，男女性人口数接近于1:1.是否会出现3000万到4000万的光棍就要看将来在适婚年龄人群中会不会出现男性人口比女性人口多3000万到4000万。我们仍然采用Leslie模型，以预测得到的2016年男女人口数作为基础数据，来得到以后每一年的男女人口数，统计30周岁以后的男女人口数，将两种人口数相减，看是否超过3000万。三、 模型假设假设1：所有数据均具有真实可靠，具有统计分析价值；假设2：本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；假设3：在预测期内，不发生战争及自然灾害等引起大规模的人口伤亡或人口迁移，即人口变化保持平稳，不出现骤减的现象；假设4：各地各民族的人口政策相同；假设5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；假设6：15周岁到49周岁的所有女性为育龄妇女，不考虑其是否已婚、丧偶，是否具有生育能力；假设7：不考虑生育率、死亡率和男女性别比随着区域人口流动发生变化的情况；假设8：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；假设9：各年段人口死亡率不出现突变现象； 假设10：中国所能容纳的人口有限。四、 符号说明符号符号说明第t年第i年龄组的女性人口数，i=0，1，290第t年第i年龄组的男性人口数，i=0，1，290第t年第i年龄组的女性死亡率第t年第i年龄组的男性死亡率第t年第i年龄组的女性存活率第t年第i年龄组的男性存活率第t年第i年龄组的女性生育率 第t年出生人口中女性新生儿比例五、 模型的建立和求解5.1问题一5.1.1模型一的准备5.1.1.1灰色预测模型人口发展趋势并不呈现显著的规律性，人口发展表现为复杂多变、非平稳的随机过程。灰色预测将已知的数据序列按照某种规则“生成”动态或非动态的白色模块，从杂乱无章的原始数据中开拓或寻找其内在规律，再按照某种变化、 解法来建立灰色模型，从而预测未来数值，单一变量一阶微分方程称为GM（1，1）模型。GM(1，1)模型所需数据量少，思路简单，运算简便的特点对于改善数据的随机性、提高预测精度有着显著的优越性。灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列。而是生成的数据序列，其核心体系是灰色模型，即对原始数据做累加生成得到近似的指数规律再进行建模的方法。5.1.1.2级比检验根据1990年至2010年的人口数据，建立人口数时间序列如下： （单位：万人）（1） 求级比，有 （2） 级比判断经过比较可知，所有的级比都落在可容覆盖的内，则序列可以作为模型GM(1，1)的数据进行灰色预测。5.1.2模型一的建立（1）对原始数据做一次累加，得到单位：万人(2) 构造数据矩阵B及数据向量Y，有, (3) 计算记，由最小二乘法，求得达到最小值的u的估计值为 求得，（万）(4) 建立模型白化微分方程为 解方程得 即 （5）求生成序列预测值及模型还原值令 由上面的时间响应函数可算得预测累加值，其中，取由， 求得每年人口数预测值图1.1990-2010年人口预测值5.1.3模型一的检验预测值与原始值的比较（1） 残差检验。令残差为，计算 这里，如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求。（2） 级比偏差值检验。首先由参考数据计算出级比，再用发展系数求出相应的级比偏差 如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求。模型的各种检验指标值计算结果见下表图2.1990-2010年人口数的预测值与真实值比较经检验，模型的精度很高 ，可进行2015年人口数的预测和预报。5.1.4 2015年人口预测根据上述模型，我们可以预测2015年人口数为140613万人；与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.024，该预测值较合理。5.1.5模型二的准备5.1.5.1回归分析法：回归分析是一较为常见的分析方法，该方法从事物的因果关系出发，在大量原始观测数据的基础上，建立自变量与因变量的函数表达式，确定回归方程，预测事物今后的发展趋势。人口增长过程中，各时期人口发展速度比较接近时，即在人口发展曲线上任意点切线的斜率基本相等且近似为直线增长的时候，可以选用一元线性回归方法进行人口数量测算。受测算条件的限制，这种模型比较适用于短期内的人口预测，用于长期预测时会因人口变动引起的误差逐渐放大而影响预测结果的准确性。本文采用一元线性模型进行人口预测。5.1.6建立回归分析方法模型5.1.6.1模型一元线性回归模型为 其中为年份，为当年人口数，都是与无关的未知参数，称为回归系数。现得到21个独立观测数据，为的观测值，为的观测值，则有 记式可表示为