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破解折叠问题的“三步曲”齐建民折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形,考察由此产生的位置关系和数量 关系,这类问题由于涉及到平面到空间的动态变化,对空间想象能力,识图能力及分析能力 要求均较高,是近年来高考的热门题型,要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手: 第一步:看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形,有时候题目中可能只给出平面图形,这就 需要我们自己去画立体图形,我们应该对比两个图形,思考下面的问题;(1) 折痕是哪些直线?折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素,是引发后面问题的“罪魁祸首”,呵呵,这么说只是强调一下折痕的重要地位, 盐打哪儿咸,醋打哪儿 酸,解决折叠问题的思维起点,位置与数量关系的变化皆与折痕有关, 要明确一点: 位于折痕同一侧的点,线的关系是不变的;(2) 折叠前后哪些点重合了?重合的点往往意味着重合的线段,即立体图形中明明是一条线段,但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。(3) 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间?第二步:挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的,它是解题的一个重要已知条件,我们应该充分理解、挖掘这个特征,常见的折叠特征有以下三种:(4) 将平面图形折叠成某个度数的二面角,比如直二面角,这种情况我们就应该找到这 个二面角的平面角,在立体图中标出;(5) 使几个点重合,这种情况我们就应该标出哪些点重合的;比如若A,B两点重合记为点P的话,我们可以在图上标记为 P(A,B)这样便于翻折前后的对比;(6) 使指定的两个点的距离是某值,那么我们应该连接相关的点;第三步:结合问题,寻找不变量通过前两步,我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解,对翻折得到的立体图形的空间形 态也有了全方位的认识,那么最后一步,就是结合问题,充分利用翻折前后图形的性质来寻 找解题的途径,而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键,常见的不变量有“不变的 垂直关系,不变的长度关系,不变的平行关系“这三类,当解题受阻时就应该思考“哪些量 是不变的?”,可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙!上述三步曲是解决折叠问题的总的规律,在实际解题中应灵活运用,下面举例说明在解题 中,我们如何走好这“三步”,重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的: 一、不变的垂直关系例1:如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,将 ADE和 BEC沿DE和CE折起,使AE 与BE重合,记A与B重合后的点为P求(1)求证:PE 平面PDC ; (2)二面角P-CD-E的度数;分析:从翻折的过程可以看出, AD AE,EB BC这两个垂直关系是不变量, 而翻折后A,B重合为P,故在立体图中有 PE PD,PE PC,问题得解;解:(1)由翻折过程可知,PE PD,PE PC ,故PE 平面PDC ; (2)取CD中点F,连接PF,FE在原平面图形中,AD=BC,ED=EC翻折后 A,B重合为P故 PD=PC,可知PF CD,EF CD ,则 PFE是二面角P-CD-E的平面角,设正方形边长为a,得PE -,2a21EF a, sin PFE /则二面角 P-CD-E的度数为 30a 2二、不变的长度关系例2 (2007安徽文)把边长为 J2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在 A, B, C, D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为()rr无无A. v 2 TtC . TtB . D .一分析:原题是没有图的,需要我们自己画出前后两个图形,折叠特征是直二面角,哪个角是它的平面角? 不难看到DO AC,OB AC这两组垂直关系是不变的, 故 DOB就是二面角的平面角,则DOB 那么如何确定 A,B,C,D四点所在的球心呢?找不变量!通过比较两图可以发现,折叠前 A、B、C、D四点是共面的,翻折后不再共面,这是变化的量,而正 方体中心 O到四个顶点的距离是不变的,即在折叠前后中始终有OA OB OC OD,所以。就是翻折后 A, B, C, D四点所在球的球心,易得该球半径R 1,而D,B两点在球中 兀.,一、 所对球心角为一,球面距离L gR ,故选B. 22mi三、不变的平行关系例3: (2006高考辽宁卷)已知正方形 ABCD, E, F分别是边 AB, CD的中点,WAADE沿DE折起,如图所示,求证: BF 平面ADE分析:要证明BF/平面ADE ,只需证明BF与平面ADE内的一条直线平行即可,而比较翻折前后的图形可以发现,BF/ ED这个平行关系是不变量,命题得证;解:E、F分别是正方形 ABCD的边AB、CD的中点,则EB/ FDHEB=FD,四边形EBFD是平行四边形BF / EDED 平面AED,而BF 平面AEDBF/ 平面 AED练习:(1)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积是( )(A)(B)邑3)邑 3,612121 / 12(2)如图,在正三角形 ABC中,D, E, F分别为各边的中点,G, H, I, J分别为AF, AD,BE, DE的中点.将 ABC沿DE, EF, DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度为 ()A. 90 B, 60C. 45(D) 0(3)如图,在等腰梯形 ABCD中,AB=2DC2/DAB=60,E为AB的中点,将 ADE与4BEC分(4)正方形ABCD的边长是2,E、F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示).M为矩形AEFD内的一点,如果 MBE= MBC, MB和平面BCF所成角的正切 值为1/2,那么点M到直线EF的距离为 。答案:(1)选D 提示:画出翻折前后的图形,可知不变量有DO OB =2和2DO OC, DO OA,而BD a,可得 DOB 90,则DO 平面ABC,三棱锥体积1112.2.2 2V - sh -g- a g a a33 2212(2)选B 分析:画出折叠后的立体图形,因为 A,B,C三点重合为 S,翻折过程中不变量是GH DF ,JI /DB即JI/SD,故GH与IJ所成角就是 SDF ,大小为60。选C提示:由已知易得 ADE, DEC, CEB均为正三角形,而翻折后A,B重合为P,故三棱锥P-CDE实际为正四面体,计算可得外接球半径43.6V - R338(4)填 提示:由 MBE= MBC,可知M在平面EFCB内的射影在EBC的平分线上,2而 EBC 90,故M的射影应该在原正方形的对角线BD上,因为翻折特征是直二面角,设M在平面EFCB内的射影是N,即MN EF ,由面面垂直的性质定理可知,N必在EF上,且MN 1BN=J2, MB和平面BCF所成角即 MBN ,tan MBN 一,得MN ,故M到直BN 22线EF的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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