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点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆()中,若直线与椭圆相交于M、两点,点是弦的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则 证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又同理可证,在椭圆(0)中,若直线与椭圆相交于、N两点,点是弦MN的中点,弦N所在的直线的斜率为,则.典题妙解例1 设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当绕点旋转时,求:(1)动点的轨迹方程;()的最大值和最小值.解:()设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知:点是弦AB的中点 .焦点在上, 假设直线的斜率存在.由得:整顿,得:当直线的斜率不存在时,弦B的中点为坐标原点,也满足方程。所求的轨迹方程为()配方,得:当时,;当时,例 在直角坐标系中,通过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和Q.(1)求的取值范畴;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、,与否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求的取值范畴;如果不存在,请阐明理由.解:()直线的方程为由得:直线与椭圆有两个不同的交点,0.解之得:.的取值范畴是(2)在椭圆中,焦点在轴上,,设弦PQ的中点为,则由平行四边形法则可知:与共线,与共线,从而由得:,由(1)可知时,直线与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数.例3已知椭圆(0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.() 求椭圆的原则方程;() 过点的直线与该椭圆相交于M、两点,且,求直线的方程解:()根据题意,得所求的椭圆方程为()椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦M的中点为.由平行四边形法则知:.由得:.若直线的斜率不存在,则轴,这时点与重叠,,与题设相矛盾,故直线的斜率存在.由得: 代入,得整顿,得:.解之得:,或.由可知,不合题意.,从而.所求的直线方程为,或例4 已知椭圆(0)的离心率为,过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时,坐标原点到的距离为(1)求的值;(2)上与否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点P的坐标与的方程;若不存在,阐明理由.解:()椭圆的右焦点为,直线的斜率为时,则其方程为,即. 原点O到的距离:,.又,. 从而., (2)椭圆的方程为 设弦A的中点为. 由可知,点Q是线段O的中点,点P的坐标为.若直线的斜率不存在,则轴,这时点与重叠,,点P不在椭圆上,故直线的斜率存在.由得:.由和解得:当时,点P的坐标为,直线的方程为;当时,点P的坐标为,直线的方程为.金指点睛1. 已知椭圆,则觉得中点的弦的长度为( ) . B. C. D 2.(06江西)椭圆(0)的右焦点为,过点的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于、两点,为线段B的中点(1)求点P的轨迹H的方程;(2)略.(05上海)(1)求右焦点坐标是且过点的椭圆的原则方程;(2)已知椭圆的方程为().设斜率为的直线,交椭圆于A、B两点,B的中点为M证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;(3)略.(05湖北)设A、B是椭圆上的两点,点是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点(1)拟定的取值范畴,并求直线AB的方程;()略.5. 椭圆的中心在原点,并以双曲线的焦点为焦点,以抛物线的准线为其中一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点有关直线对称,求的值.参照答案1. 解:由得,.弦M的中点,由得,直线MN的方程为.即 由得:设,则.故答案选C. 解:()设点P的坐标为,由得:,整顿,得:点P的轨迹H的方程为.3解:(1)右焦点坐标是,左焦点坐标是. .由椭圆的第一定义知, . 所求椭圆的原则方程为 ()设点M的坐标为,由得:,整顿得:.a、b、为定值,当直线平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.4. 解:(1)点在椭圆内,,即1.的取值范畴是.由得,,焦点在y轴上若直线B的斜率不存在,则直线AB轴,根据椭圆的对称性,线段AB的中点N在x轴上,不合题意,故直线AB的斜率存在.由得:,所求直线A的方程为,即从而线段B的垂直平分线CD的方程为,即.5. 解:(1)在双曲线中,,焦点为.在抛物线中,,准线为.在椭圆中,. 从而所求椭圆C的方程为.()设弦AB的中点为,则点P是直线与直线的交点,且直线. .由得:,.由得:.由、得:又,即.在中,当时,,即直线通过定点.而定点在椭圆的内部,故直线与椭圆一定相交于两个不同的交点.的值为
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