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6.3 二元一次不等式组与简单的线性规划一、选择题1点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4,且在不等式2xy3表示的平面区域内,则a的值是()A3 B3 C7 D7解析:依题意2a33,a0,又4,a7(舍)或a3,故a3.答案:A2不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的()解析:(x2y1)(xy3)0或答案:C3在平面直角坐标系中,不等式组,表示的平面区域的面积是()A4 B4 C2 D2解析:不等式组表示的平面区域如右图所示SABCABAC4.答案:B4(2009西安调研)如右图,已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数zxmy取得最小值,则m等于()A2 B1C1 D4答案:C二、填空题5已知变量x,y满足约束条件,若目标函数axy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为_解析:由约束条件表示的可行域如图所示,作直线l:axy0,过(3,0)点作l的平行线l,则直线l界于直线x2y30与过(3,0)点与x轴垂直的直线之间,因此,a,即a.答案:6某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元,在满足需要的条件下,最少要花费_元解析:如图,设购买第一种包装x袋,第二种包装y袋,由已知条件35x24y106,x0,y0,则当x1,y3时,z140x120y,取到最小值500元答案:5007已知点P(x,y)满足不等式组则动点M(cos ,sin )(R)到点P的距离|PM|的取值范围是_解析:本题考查线性规划及参数方程;据题意可知动点M(cos ,sin )的轨迹方程为x2y21,如图作出可行域,可知圆心到可行域内点的连线中,圆心到直线xy4的距离2最小,与点A(4,3)间的距离5最大,结合圆的知识可知圆上的所有的点与可行域内的距离最小值即为21,最大值为516.答案:21,6三、解答题8已知x2y2在x,y取何值时取得最大值、最小值?最大值、最小值各是多少?解答:如图所示可作出不等式组表示的区域,过原点O作OB垂直于直线2xy20,垂足为B,则x2y2在A、B点分别取得了最大值和最小值由得即A(2,3)由得即B(,)x2y2的最大值和最小值分别为13,.9某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位,而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位;所需工时分别为4和2个单位如果允许使用的原料为100单位,工时为120单位,且A或B型电视和产量分别不低于5台和10台应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润最大?解答:如图,设生产A型电视机x台,B型电视机y台,则根据已知条件,线性约束条件为即线性目标函数为z6x4y.根据约束条件作出可行域如图所示,作3x2y0.解方程组得故生产两种类型电视机各20台,所获利润最大10有一批钢管,长度都是4 000 mm,都要截成500 mm和600 mm 两种毛坯,且这两种毛坯数量比大于配套怎样截最合理(即损耗最小)?解答:设要截成500 mm、600 mm两种毛坯各x根、y根,则线性约束条件为即线性目标函数u500x600y,如图作出可行域,可观察出目标函数在A(2,5)处取得最大值即截出500 mm,600 mm的两种毛坯分别为2根,5根最为合理1 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数yax(a0,a1)的图象过区域M的a的取值范围是()A1,3 B2, C2,9 D,9解析:区域M是三条直线相交构成的三角形(如图),显然a1,只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形,a19且a38即2a9.答案:C2甲、乙两地生产某种产品,它们可调出的数量分别为300 t,750 t,A、B、C三地需要该产品数量分别为200 t,450 t,400 t,甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元/t,3元/t,5元/t,乙地运往A、B、C三地费用分别为5元/t,9元/t,6元/t,问怎样调运,才能使总运费最省?解答:设从甲到A调运x t,从甲到B调运y t,从甲到C调运(300xy)t;则从乙到A调运(200x)t,从乙到B调运(450y)t,从乙到C调运(100xy)t;设调运的总费用为z元,则z6x3y5(300xy)5(200x)9(450y)6(100xy)2x5y7 150.知整理得根据上述约束条件可作出可行域如右图,作2x5y0,可观察出最优解为(0,300)即从甲到B调运300 t,从乙运到A 200 t,从乙运到B150 t,从乙运到C400 t,总费用最省
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