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求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。答案:由不等式得(a+2)x2+4x+a-10. 对任意xR成立。)当a=-2时,化为4x3,当x时不成立。)当a-2时,=44-(a+2)(a-1)0,即a2+a+24,得a2,或a-3,综上所述,a2。来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:中档已知不等式组 的整数解恰好有两个,求a的取值范围。答案:因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0,则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a,所以a0,所以不等式组无解。若a0,)当0a时,x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时,a1-a,由得x1-2a,所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3,所以1a2,并且当1a2时,不等式组恰有两个整数解0,1。综上,a的取值范围是1a2.来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:较难已知f(x)=ax2+bx+c在0,1上满足|f(x)|1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。答案:因为,所以,所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| 3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|17.另一方面,对于二次函数f(x)=8x2-8x+1,当x0,1时,|f(x)|1,且|a|+|b|+|c|=17,所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:较难对任意x0,1,有 成立,求k的取值范围。答案:当x0,1时,有x2-2kx+k-40成立。记f(x)=x2-2kx+k-4,当且仅当时-3k0,由g(1)0可得k2.)当0k0当且仅当,即-6k2,亦即0k2;)当k0当且仅当g(1)0,即k2。综上所述,对任意x0,1,不等式组成立。当且仅当-3k100,试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个?答案:f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。)若|f(x0)|50,因为满足|n-x0|50,若f(x0)50,则|f(x)|50无解;若f(x0)-50,设|f(n)|50,|f(n+k)|50,若k1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|100.则k|2n+k-2x0|1,若nx0,则k无解,所以满足nx0且|f(x)|50的整数x至多有1个。同理可得若nn+kx0,则若k1,|k(2n+k-2k0)|k|1,所以满足的k也不存在。所以满足|f(x)|50的整数最多有2个。例如,f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|0(mR)答案:(1)m=0时 -3x+90 x3(2)m3时 当m0时10 0m1时,x3或来源:题型:解答题,难度:中档已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。(1)求函数的解析式;(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);(3)当时,证明:函数的图象上至少有一个点落在直线上。答案:(1)时, 则 函数是定义在上的奇函数,即,即 ,又可知 函数的解析式为 ,(2), ,即 时, 。猜想在上的单调递增区间为。(3)时,任取,在上单调递增,即,即,当时,函数的图象上至少有一个点落在直线上。来源:08年高考探索性专题题型:解答题,难度:较难设,求满足下列条件的实数的值:至少有一个正数,使的定义域和值域相同答案:若a0,则对每个正数b,的定义域和值域都是,故a0满足条件若a0,则对每个正数b,的定义域D,但的值域A故DA,即a0不合条件若a0,则对每个正数b,的定义域D,由于此时,故的值域为所以,综合所述,a的值为0或4来源:题型:解答题,难度:中档已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|1时,|f(x)|1,(1)求证:|c|1;(2)求证:当|x|1时,|g(x)|2;(3)当a0且|x|1时,g(x)最大值为2,求f(x).答案:(1)令x=0,则|f(0)|0,于是|c|1。(2)因为,解得a=f(1)+f(-1)-2f(0), b=f(1)-f(-1),所以当|x|1时,|g(x)|=|ax+b|=|f(1)+f(-1)-2f(0)x+f(1)-f(-1)|=|(x+1)f(1)+(x-1)f(-1)-2xf(0)|x+1|f(1)|+|x-1|f(-1)+|2x|f(0)|(|x+1|+|x-1|+2)= (x+1)+(1-x)+2=2.(3)因为当a0时g(x)=ax+b在-1,1上递增,所以当x=1时,g(x)=2,即g(1)=a+b=2=f(1)-f(0).而-1f(1)1,-1-f(0)1,所以f(1)=1,-f(0)=1,所以c=-1。又当|x|1时,f(x)-1=f(0),所以在-1,1上,f(0)为f(x)的最小值,所以0=-,所以b=0,a=2。所以f(x)=2x2-1.来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:中档设A=x| 1x0成立。(1)判断函数f(x)在1,1上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式f(x + )f( );(3)若f(x)m22am + 1对所有x 1,1,a 1,1恒成立,求实数m的取值范围。答案:解:(1)任取x1、x2 1,1且x10,x1x20,得f(x1)f(x2)0,即f(x1) f(x2),故f(x)在1,1上是增函数。 4分(2)据函数f(x)是定义在1,1上的增函数,不等式f(x + )0时g(a)为1,1上的减函数,此时g(1)最小。由 解得m2;当m = 0时,g(a) = 0,对a 1,1的g(a)0也成立;当m0时g(a)为1,1上的增函数,此时g (1)最小,由 ,解得m2。故m的取值范围为m2,m = 0或m2。 14分来源:题型:解答题,难度:较难某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,因此,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为11.8万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为p%的管理费(即销售100元要征收p元),于是该商品的定价上升为每件元,预计年销售量将减少p万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元,则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于14万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p应为多少?答案:解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8p)万件,年销售收入为(11.8p)万元,则商场该年对该商品征收的总管理费为(11.8p)p%(万元). 3分故所求函数为:y=(11810p)p. 4分由11.8p0及p0得定义域为0p. 5分(2)由y14,得(11810p)p14.化简得p212p+200,即(p2)(p10)0,解得2p10.故当比率在2%,10%内时,商场收取的管理费将不少于14万元. 8分(3)第二年,当商场收取的管理费不少于14万元时,厂家的销售
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