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二元一次方程组综合指导一、复习目标1.理解二元一次方程和二元一次方程组的概念。弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。2、理解解二元一次方程组的基本思想-消元的思想,掌握两种解二元一次方程组的基本方法-代入消元法,加减消元法。3、能根据方程组的特点灵活选择合适的方法,体现数学中的化未知为已知的化归的数学思想和方法。学会用类比的方法迁移知。4、经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效的数学模型。5、会用列表、画图形等方式分析问题中所蕴涵的数量关系,列出方程组。通过开放性问题的探究,培养分析问题、解决问题的能力。学会比较估算与精确计算,能对实际问题作出正确的解答。二、重点与难点重点:能够灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组,综合运用数学知识解决实际问题。难点:1、根据方程组的特点选择恰当的方法解二元一次方程组。2、对于实际问题能找出问题中所蕴涵的数量关系,能够把实际问题转化为数学中的方程模型,从而得以解决。体会“化归思想”、“消元思想”在方程组中的作用。三、知识规纳(一)、方程组中的有关概念1、二元一次方程:含有两个未知数(x和y),并且未知数的指数都是1,这样的方程叫二元一次方程。理解二元一次方程必须满足如下条件:(1)“二元”即方程中含有两个未知数;(2)“一次”即方程中未知数的指数都是“1”;(3)分母中不含有未知数。如:都不是二元一次方程。2、二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫二元一次方程的解。注意:一般情况下,二元一次方程有无数多个解。3、二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,即用“”连接起来,就组成了二元一次方程组。对二元一次方程组的概念可这样理解。在一个方程组中,共有两个未知数,并且每一个方程都是一次方程,这样组成的方程组就是二元一次方程组。如:也都是二元一次方程组。4、二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。注意:一个二元一次方程的解有无数多个,而二元一次方程组的解是一对数值,这对数值必须满足方程组中的每一个方程。检验方程组解的方法将这一对数值代入每个方程中,若这两个方程左右两边都分别相等,这对数值即为方程组的解。(二)、二元一次方程组的解法:1.一种基本思想,两种方法:即“消元的思想”,“代入消元法”、“加减消元法”。(1)“消元的思想”,是数学中的一种思想和方法,即把“二元化为一元”。(2)“代入消元法”,是由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程中,实现消元,从而得到二元一次方程组的解。这种方法叫代入消元法。(3)“加减消元法”,两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出二元一次方程组的解。,这种方法叫加减消元法。2、用“代入消元法”解二元一次方程组其步骤分为五步:(1)变形:从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如y,用含x的式子表示出来,得。(2)代入:将代入另一个方程中,消去y,得到一个关于x的一元一次方程。(3)解元:解所得到的一元一次方程,求出x的值。(4)求值:把求得的x的值代入中,求出y的值,从而得到方程组的解。(5)联立:把求得的x,y的值用“”联立起来,就是方程组的解。3、用“加减消元法”解二元一次方程组其步骤也分为五步:(1)变形:方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不是互为相反数,就要用适当的数乘方程的两边,使一个未知数的系数互为相反数或相等。(2)加减:当同一个未知数的系数是互为相反数时,用加法消去这个未知数,得出关于另一个未知数的一元一次方程;当同一个未知数的系数相等时,用减法消去这个未知数,得到关于另一个未知数的一元一次方程。(3)解元:解所得到的一元一次方程。(4)求值:将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解。(5)联立:把求得的x,y的值用“”联立起来,就是方程组的解。(三)、列二元一次方程组解决实际问题的步骤。与一元一次方程类似,可归纳为:“一审二设三列四解五答”即1、审题,弄清题意及题中的数量关系。2、设未知数,可直接设元,也可间接设元。一般地,有几个未知量就设几个未知数,找出几个相等关系。 3、列:根据题中所能的关系找出等量关系,列出方程组。4、解:解所列的方程组并检验解的正确性。5、答:写出答案。注意:设未知数时,若有单位需加单位;检验时包括两方面,一是是否是所列方程组的解,二是解是否符合实际意义;写出答案包括写出本题的正确答案和答。(四)、二元一次方程组蕴涵的数学思想方法主要有:化归思想;分类讨论思想;整体思想。四、典型例题赏析1、考察二元一次方程组的有概念例1、(2006烟台)写出一个解为的二元一次方程组。析解:本题是一道开放性题,答案不唯一。如等。例2、(2006德州)已知方程组的解为,则的值为。析解:由方程组解的定义,把代入原方程组得到关于a,b的二元一次方程组,解此方程组得,所以。2.考察二元一次方程组的解法例3、(2006十堰)二元一次方程组的解是()A、B、C、D、析解:根据方程组的特点,关于未知数y的系数互为相反数时,用加法消元,(1)(2)消去y,得关于x的一元一次方程为,解得,再代入(1)或(2)得到,故答案选择D。注:本题也可以利用选择题的解法-代入法:直接将选择支中各结论代入题设条件中进行检验,排除不正确或找出唯一的正确答案。3、考察二元一次方程所蕴涵的数学思想方法(1)化归思想所谓的化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易,它是解二元一次方程组最重要的数学思想。例4、(2006,晋江市)解方程组:析解:根据方程组的特点,通过加减消元法,(1)(2)达得消二元为一元的目的,得到一元一次方程为,从而可得方程组的解为:。即解二元一次方程组通过代入消元或加减消元的方法,将二元转化为一元方程来解。(2)分类讨论思想。所谓分类讨论就是根据数学对象的本质属性,将问题区分为不同种类,然后对可能存在的各种情况进行讨论,做到不重不漏。例5、(2003,湖北黄冈)已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑,其价格分别为A型每台6000元,B型每台4000元,C型每台2500元。我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台,请你设计几种不同的购买方案供学校选择,并说明理由。析解:根据题意,共有三种型号的电脑选购,选购其中的两种,所以分三种情况进行讨论。解:设从该电脑公司购进A型电脑台,B型电脑y台,C型电脑z台。(1)只购进A型电脑和B型电脑,则由题意得,解得,不合题意,舍去。(2)只购进A型和C型电脑,则由题意得,解得(3)只购进B型和C型电脑,则由题意得,解得综合以上三种情况,所以共有两种选择方案:方案一:购进A型电脑3台,C型电脑33台。方案二:购进B型电脑7台和C型电脑29台。注意:对于分类讨论要做到不重不漏,解决实际问题时,要注意检验结果是否符合实际意义,要进行取舍。3、整体思想例6、解方程组:析解:由(1)可得,从而发现这两个式子中都含有这一项,故将其看成一个整体代入,便可容易求得方程组的解为。
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