曲边梯形的面积教学目标 :重点 : 掌握曲边梯形的面积的求法，并理解“以直代曲”的思想难点 : 曲边梯形的面积的求法知识点 : 求一般曲面梯形面积的方法能力点 : 体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想教育点 :感受古代数学家的成就,增强自豪感教学过程 :一、引入新课问题 1：你会求哪些平面图形的面积？下面这些平面图形有什么共同特点？问题 2：下面这两个图形的面积你会求吗？【设计意图】1. 引导学生认识到平面图形分为“直边图形”和“曲边图形”。2. 将不规则的图形“分割”得到熟悉的图形，从而求出它的面积。让学生体会分割转化的思想。问题 3：圆的面积是怎样求得的？【设计意图】 介绍我国古代数学家刘徽的“割圆术”求圆面积的方法。借助多媒体动画演示，让学生直观地看到正多边形逼近圆的过程。体会最早的“以直代曲”，“无限逼近”的思想方法。割圆术的动态演示能够激起学生的学习兴趣和求知欲望。问题4：如果你从中受到了启发，那么如何求下图中阴影部分的面积呢？二、探究新知1 曲边梯形如图，在直角坐标系中，由连续曲线yfx ，直线 xa, xb 及 x 轴所围成的图形叫做曲边梯形.第1页共5页2 求曲边梯形面积近似值方法探究思考：你能给出图中的求曲边梯形面积的近似值的办法吗？生：把曲边梯形看作梯形，以梯形的面积作为曲边梯形的近似值.师：梯形的上底下底和高分别是什么？生：上底和下底分别是fa , fb ，高为 ba .师：这种近似方法“差”在哪里？体现了什么思想？生：“差”在了曲边，把曲边近似看作了直线，体现了“以直代曲”的思想.回顾“以直代曲” ：我们可以用这条直线来代替点 p 附近的曲线，也就是说：在点 p 附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲） .PP问：那么我们刚才这样“以直代曲”效果怎样？原因出在哪？显然，近似值误差较大，“以直代曲”主要用在小范围内，大范围上用误差较大.探究：如何能得到更好的近似值呢？例：求由抛物线yx2 与直线 x1, y0 所围成的平面图形的面积S .步骤 1、分割将区间 0,1 等分成 n 个小区间0, 1， 1, 2， ， i1, i （学生回答） ， ，nnnnnn1, n ，每个区间的长度为xi i11（学生回答），过各个区间端nnnnn点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作，S1, S2,Si ,Sn . . 显然，nSSi . （复习符号的运用）i1步骤 2、近似代替如何计算每个曲边梯形的面积呢？用梯形面积作为近似值有什么优缺点？还有其它方案吗？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）共 5方方案一方案二方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积.方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积.方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积. （缺点计算公式较为复杂）【设计意图】对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会.1 , if i 12对区间i上的小曲边梯形，以区间左端点i 1 对应的函数值i 1 为一边的长，以nnnnnx1.为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积n即 Sif ( i 1) x ( i 1) 21nnn步骤 3、求和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积 S 的近似值：nni12SnS1S2Sn =Si1nni 1i 112221222n 1 n 2n 1n301n 1n301n 16n3（公式：1222n2nn 162n1）练 习 ： 学 生 自 主 完 成 以 区 间 右 端 点 i对应的函数值为矩形一边的长时面积的近似值nnn1 2 n1Sn 6n3。（给学生体验近似代替求和计算的机会，并为后续研究作铺垫）步骤 4、取极限（ 1）从图形角度看（ 2）利用 EXCEL 表格计算分别以左右端点为边长面积的近似值区间的等分数 n 左端点为边长面积近似值20.12540.2187580.2734375160.3027343751280.32943725610240.33284521120480.3330892321310720.3333295192621440.33333142620971520.3333330955368709120.33333333210737418240.333333333从表格中可以看出，当n 趋向于无穷大，即x 趋向于0 时， sn趋向于 S ，显然面积 S1.3（ 3）极限计算Slim Snlimn1 n2n1111113lim1nn6n3n2n3nSlim Sn limn1 n2n1lim 1111113nn6n3n2n3n三理解新知：在“近似代替”中，如果我们取右端点处的函数值作为f xx2 在区间i 1, ii1,2, , n 上的近nn似值，情况会怎样？生： S lim Sn limn1 n2n1111113lim 1nn6n3n2n3n如果我们不取左，右端点处的函数值作为fxx2 在区间i1 , ii1,2, n上的近似值，而是取nni1if i任意i,处的函数值作为近似值，情况又怎样？nni1i处的函数值 f可以证明，取任意i,ni作为近似值，都有n第4页共5页nnS limf ix limx 0 i 1ni 11 fi1n3【设计意图】 分别从图形、数值、式子三个角度去理解曲边梯形的面积值，展示“逼近”过程，让学生体会极限思