1、题目 高中数学复习专题讲座：对集合的理解及集合思想应用的问题高考要求 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用 重难点归纳 1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 2 注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论 典型题例示范讲解 例1设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论 命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题 知识依托 解决此题的闪光点是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了 错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手 技巧与方法 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)04k24bk+10, 即 b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190, 从而8b20,即 b2 5 由及bN,得b=2代入由10和20知，方程只有负根，不符合要求 当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 学生巩固练习 1 集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,则( )A M=NB MNC MND MN=2 已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，则( )A 3m4B 3m4C 2m4D 20,b0,当AB只有一个元素时，a,b的关系式是_ 5 集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求当a取什么实数时，AB 和AC=同时成立 6 已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB至多有一个元素；(3)当a10时，一定有AB 7 已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,当AB=B时，求b的值 8 设f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x (1)求证 AB;(2)如果A=1，3，求B 参考答案 1 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ 答案 C2 解析 AB=A，BA,又B,即2m4 答案 D3 a=0或a4 解析 由AB只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab= 答案 ab=5 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 6 解 (1)正确 在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上 (2)正确 设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得 2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解 AB至多有一个元素 (3）不正确 取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n0, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的 7 解 由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化简得|w(b+i)|1 集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面 又AB=B，即BA，两圆内含 因此21,即(b2)20，b=2 8 (1)证明 设x0是集合A中的任一元素，即有x0A A=x|x=f(x),x0=f(x0) 即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB (2)证明 A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q=0有两根1和3，应用韦达定理，得f(x)=x2x3 于是集合B的元素是方程ff(x)=x,也即(x2x3)2(x2x3)3=x(*)的根 将方程(*)变形，得(x2x3)2x2=0解得x=1,3, 故B=，1，3 课前后备注