高中文科数学知识点总结_2高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是，或者，两者必居其一. (4)集合的表示法 ?自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ?列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ?描述法:x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. ?图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ?含有有限个元素的集合叫做有限集.?含有无限个元素的集合叫做无限集.?不含有任何元素的集合 叫做空集 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 n(7)已知集合A有个元素，则它有2个子集，它有个真子集，它有个非空子集， 它有非空真子集. nnn 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 1 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 2)一元二次不等式的解法 (2 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ?设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数，记作( ?函数的三要素:定义域、值域和对应法则( ?只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( (2)区间的概念及表示法 ?设a,b是两个实数，且，满足的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b;满足的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足，或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b;满足的实数x的集合分别记做( 注意:对于集合与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ( (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则: ?f(x)是整式时，定义域是全体实数( ?f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( ?f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( ?对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1( ?中， Z)( ?零(负)指数幂的底数不能为零( ?若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集( ?对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:若已知f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式解出( ?对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论( ?由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义( (4)求函数的值域或最值 事实上，如果在 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的(函数的值域中存在一个 3 最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值(因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同(求函数值域与最值的常用方法: ?观察法:对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值( ?配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值( ?判别式法:若函数可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 ，则在a时，由于x,y为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值( ?不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值( ?换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题( ?反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值( ?数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值( ?函数的单调性法( 2 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种( 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(列表法:就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系(图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系( (6)映射的概念 ?设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射，记作( ?给定一个集合A到集合B的映射，且(如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象( 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ?定义及判定方法 4 ?在公共定义域 的最大值，记作 ( ?一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:(1)对于任意的，都有(2)存在，使得(那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作; ( 5 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ?定义及判定方法 ?若函数f(x)为奇函数，且在处有定义，则( ?奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反( ?在公共定义域 ?化解函数解析式; ?讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ?画出函数的图象( 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象( ?平移变换 左移h个单位 右移|h|个单位上移k个单位 下移|k|个单位 ?伸缩变换 缩 伸 ?对称变换 0缩 伸 x轴y轴 6 (2)识图 保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去原点直线去掉y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系( (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具(要重视数形结合解题的思想方法( 第二章 基本初等函数(?) 2.1指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ?如果，且，那么x叫做a的n次方根(当n是奇数时， a的n n是偶数时，正数a的正的n 表示，负的n次方 n 根用符号0的n次方根是0;负数a没有n次方根( n叫做根指数，a叫做被开方数(当n为奇数时，a为任意实数;当 n为偶数时，( ?根式的性质 :;当n为奇数时 ，;当n为偶数时， ( (2)分数指数幂的概念 m ?正数的正分数指数幂的意义是:a 幂等于0( 且(0的正分数指数?正数的负分数指数幂的意义是:且(0的负分数指数幂没有意义( 注意口诀:底数取倒数，指数取相反数( (3)分数指数幂的运算性质 ? ?【2.1.2】指数函数及其性质 7 (4)指数函数 2.2对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ?若a x 且，则x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做底数， N叫做真数( ?负数和零没有对数( ?对数式与指数式的互化:(2)几个重要的对数恒等式 x ( ，( (3)常用对数与自然对数 常用对数:lgN，即log10N;自然对数:lnN，即logeN(其中)( b 8 (4)对数的运算性质 如果，那么 ?加法:?减法: ?数乘:?a n MN logaN logbNlogba ?log a b M n nb ?换底公式: 且 【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 (6)反函数的概念 设函数的定义域为A，值域为C，从式子中解出x，得式子(如 9 ，x在A中都有唯一确定的 果对于y在C中的任何一个值，通过式子值和它对应，那么式子表示x是y的函数，函数叫做函数的反函数，记作习惯上改写成 (7)反函数的求法 ?确定反函数的定义域，即原函数的值域;?从原函数式中反解出 ?将，(x)( (y); (y)改写成，并注明反函数的定义域( (8)反函数的性质 ?原函数与反函数的图象关于直线对称( ?函数的定义域、值域分别是其反函数 (x)的值域、定义域( ?若P(a,b)在原函数的图象上，则P(b,a)在反函数 ?一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数( (x)的图象上( 2.3幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中x为自变量，是常数( 一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限( ?过定点:所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)( ?单调性:如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数(如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴( ?奇偶性:当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数(当qp (其中p,q互 qq )，若p为奇数q为奇数时，则 质，p和q p 是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则 p 是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则 p 是非奇非偶函数( ?图象特征:幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若 ，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若， 下方( 其图象在直线补充知识二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ?一般式:?顶点式:?两根式: 2 2 (2)求二次函数解析式的方法 ?已知三个点坐标时，宜用一般式( ?已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式( ?若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便( (3)二次函数图象的性质 ?二次函数f(x)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 2 b2a ,顶点坐标是 b2a , 2 )( b2a b2a ?当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当 b2a b2a 时， 2 时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上 ;当递减，当 b2a 时， 2 ( 11 当时，图象与x ?二次函数轴有两个交点 22 2 |a| (4)一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要 设一元二次方程的两实根为x1,x2，且(令 从以下四个方面来分析此类问题:?开口方向:a ?对称轴位置:， ?判别式:?端点函数值符号( ?k