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第5讲椭圆基础题组练1已知椭圆1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于()A8B7C6 D5解析:选A.因为椭圆1的焦点在x轴上所以解得6mb0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为_解析:由题意可知e,2b4,得b2,所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案:18(2020义乌模拟)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e_解析:圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点,故椭圆的一个焦点为F(1,0),一个顶点为A(3,0),所以c1,a3,因此椭圆的离心率为.答案:9(2020瑞安四校联考)椭圆1(a为定值,且a)的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A,B.若FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_解析:设椭圆的右焦点为F,如图,由椭圆定义知,|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a,当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时周长最大,即4a12,则a3.故椭圆方程为1,所以c2,所以e.答案:10已知F1,F2分别是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,点在椭圆上,且点(1,0)到直线PF2的距离为,其中点P(1,4),则椭圆的标准方程为_解析:设F2的坐标为(c,0)(c0),则kPF2,故直线PF2的方程为y(xc),即xy0,点(1,0)到直线PF2的距离d,即4,解得c1或c3(舍去),所以a2b21.又点在椭圆E上, 所以1,由可得所以椭圆的标准方程为y21.答案:y2111已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点求该椭圆的标准方程解:由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0),由已知条件得解得a4,c2,所以b212.故椭圆方程为1或1.12已知椭圆1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若2,求椭圆的方程解:(1)若F1AB90,则AOF2为等腰直角三角形,所以有OAOF2,即bc.所以ac,e.(2)由题知A(0,b),F1(c,0),F2(c,0),其中c,设B(x,y)由2,得(c,b)2(xc,y),解得x,y,即B.将B点坐标代入1,得1,即1,解得a23c2.又由(c,b),得b2c21,即有a22c21.由解得c21,a23,从而有b22.所以椭圆的方程为1.综合题组练1(2020浙江百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析:选A.因为圆O与直线BF相切,所以圆O的半径为,即|OC|,因为四边形FAMN是平行四边形,所以点M的坐标为,代入椭圆方程得1,所以5e22e30,又0e1,所以e.故选A.2设A、B是椭圆C:1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120,则m的取值范围是()A(0,19,) B(0,9,)C(0,14,) D(0,4,)解析:选A.依题意得,或,所以或,解得0b0)经过点(,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆上的点,直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足2,求点P的轨迹方程解:(1)因为e,所以,又椭圆C经过点(,1),所以1,解得a24,b22,所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由2得xx12x2,yy12y2,因为点M,N在椭圆1上,所以x2y4,x2y4,故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM,kON分别为直线OM与ON的斜率,由题意知,kOMkON,因此x1x22y1y20,所以x22y220,故点P的轨迹方程是1.6已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且2.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围解:(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上,可设椭圆方程为1(ab0),由题意知a2,bc,又a2b2c2,则b,所以椭圆的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,直线l的斜率存在,设其方程为ykxm,与椭圆方程联立,得则(2k2)x22mkxm240,(2mk)24(2k2)(m24)0.由根与系数的关系知,又由2,即(x1,my1)2(x2,y2m),得x12x2,故可得2,整理得(9m24)k282m2,又9m240时不符合题意,所以k20,解得m20,解不等式m24,得m2或2m,所以m的取值范围为.
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