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电子科大高等数学竞赛试题与解答一、选择题(40分,每小题4分,只有一个答案正确).1.设,且,则( C )(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零;(C) 不一定存在;(D) 一定不存在.2.设是连续函数,的原函数,则( A )(A) 当为奇函数时,必为偶函数;(B) 当为偶函数时,必为奇函数;(C) 当为周期函数时,必为周期函数;(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设,在内恒有,记,则有( B )(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数,且,当时,是同阶无穷小,则( B )(A) 4;(B) 3;(C) 2;(D) 1.5.设,则在点( D )(A) 不连续;(B) 连续但偏导数不存在;(C) 可微;(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设,则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为( A )(A) ;(B) 3, 11;(C) ;(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线,的内部,若已知(k为常数),则有( D )(A) 等于k; (B) 等于; (C) 大于k;(D) 不一定等于k,与L2的形状有关.8.设在处收敛,则在处( D )(A) 绝对收敛;(B) 条件收敛;(C) 发散;(D) 收敛性与an有关.9.设A为矩阵,B为矩阵,若,则齐次线性方程组( C )(A) 无解;(B) 只有零解;(C) 有非零解;(D) 可能有解,也可能无解.10.设是空间个相异的点,记,则共面的充分必要条件是( D )(A) 秩(A)=1;(B) 秩(A)=2;(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.11设在()上连续,且为非零偶函数,则(B).(A)是偶函数;(B)是奇函数;(C)是非奇非偶函数;(D)可能是奇函数,也可能是偶函数.12设在上连续,且,则(D).(A)在内不一定有使; (B)对于上的一切都有;(C)在的某个小区间上有;(D)在内至少有一点使.13已知当时,的导数与为等价无穷小,则(B).(A)等于0;(B)等于;(C)等于1;(D)不存在.14设是微分方程的满足,的解,则(B).(A)等于0;(B)等于1;(C)等于2;(D)不存在.15设直线L:,平面:,则它们的位置关系是 (C).(A);(B)L在上;(C);(D)L与斜交.16设在全平面上有,则保证不等式成立的条件是(A).(A),;(B),;(C),;(D),.17设S为八面体全表面上半部分的上侧,则不正确的是(D).(A);(B);(C);(D).18设常数,则级数是(A).(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)敛散性与有关19设A、B都是阶非零矩阵,且,则A和B的秩(D).(A)必有一个等于零;(B)都等于;(C)一个小于,一个等于;(D)都小于.20设A是3阶可逆矩阵,且满足,(为A的伴随矩阵),则A的三个特征值是(C).(A)3,3,;(B),2;(C)3,;(D),2,2.21. 下列命题中正确的命题有几个? ( A )(1)无界变量必为无穷大量; (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量;(3)无穷大量必为无界变量; (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个; (B) 2个; (C) 3个; (D) 4个. 22. 设 , 则是间断点的函数是 ( B )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .23. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”,则 ( C )(A) 1; (B) ; (C) ; (D) .24. 设连续,当时,与为等价无穷小,令,, 则当时,的 ( D )(A) 高阶无穷小;(B) 低阶无穷小;(C) 同阶无穷小但非等价无穷小;(D) 等价无穷小.25. 设在点的某邻域内连续,且满足 则在点处 ( A )(A) 取极大值;(B) 取极小值; (C) 无极值; (D) 不能确定是否有极值.26. 设在连续,且导函数的图形如图所示,则有 ( D )(A) 1个极小值点与2个极大值点,无拐点;(B) 2个极小值点与1个极大值点,1个拐点;(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点;(D) 2个极小值点与2个极大值点,1个拐点.27. 设有连续的一阶导数,则 ( B )(A) ;(B) ; (C) ; (D) 0 .28. 设任意项级数 条件收敛,将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为,则与 ( B ) (A) 两者都收敛; (B) 两者都发散;(C)一个收敛一个发散;(D) 以上三种情况都可能发生.29. 设 阶矩阵A的伴随矩阵 ,且非齐次线性方程组 有两个不同的解向量,则下列命题正确的是 ( D )(A) 也是的解; (B) 的通鲜为 ();(C) 满足的数必不为零;(D) 是的基础解系.30. 设则三个平面 两两相交成三条平行直线的充要条件是 ( C )(A) 秩;(B) 秩;(C) 中任意两个均线性无关,且不能由线性表出; (D) 线性相关,且不能由线性表出.二、(8分)设在的邻域具有二阶导数,且,试求,及.解 由等价无穷小得(或由泰勒公式得)三、(8分)设及,求.解.四、(8分)设函数满足与,求,(表示对的一阶偏导数,其他类推).解等式两端对x求导,得. 这两个等式,对x求导得, 由已知条件得,故解得, .五、(8分)设向量组,是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即,试证明:向量组,线性无关.证设有一组数使得,即两边左乘A,得 , ,即,为的基础解系。故线性无关。六、(10分)已知三元二次型经正交变换化为,又知,其中,为A的伴随矩阵,求此二次型的表达式.解由条件知A的特征值为,则,的特征值为,A*的特征值为,由已知是A*关于的特征向量,也就是是A关于的特征向量,设A关于的特征向量为, 是实对称阵,与X要正交,解出.令,则,故七、(8分)设S是以L为边界的光滑曲面,试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解以L为边界任作两个光滑曲面,它们的法向量指向同一例,记为与所围成的闭曲面,取外侧,所围立体为,则,由高斯公式得,由的任意性得 , 即解线性非齐次方程得.八、(10分)设一球面的方程为,从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线,垂足为点P,当点Q在球面上变动时,点P的轨迹形成一封闭曲面S,求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解设点Q为,则球面的切平面方程为 垂线方程为代入及切平面方程得,即(P点轨迹).化为球坐标方程得.九、(10分)设函数在()上连续,在可导,且.(1)求证:,等式成立.(2)求极限.证(1)令, ,由中值定理得 ,.(2)由上式变形得,两边取极限,.十、(10分)设函数在(,)连续,周期为1,且,函数在0,1上有连续导数,设,求证:级数收敛.证由已知条件,令则为周期为1的函数,且,因此=,连续、周期,有界,使,有,即,又在连续,使,有,故,由正项级数比较法知收敛.二、(8分)设,试确定、的值,使都存在.解:当时,故;当时,。十一、(8分)设的一个原函数,且,求.解:,由知,十二、(10分)设,S为的边界曲面外侧,计算解:(下侧),(上侧), 十三、(10分)已知向量组线性无关,向量都可用表出,即求证:线性相关的充分必要条件是矩阵的秩.解:()设线性相关,则不全为0的使,即,线性无关,即是齐次线性方程组的非零解,故。()设,则有非零解,即不全为0的使成立,从而,故线性相关。十四、(10分)设n阶实对称矩阵的秩为r,且满足(称A为幂等矩阵),求:(1)二次型的标准形;(2)行列式的值,其中E为单位矩阵.解:A为实对称阵,正交阵P,使,为A的特征值。(1)设是A的任一特征值,为对应特征向量,则,或,即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。由,知中有r个1,个0,适当排列P中列向量,可使,其中为r阶单位矩阵,故二次型的标准形为。(2)由得,故十五、(10分)已知,.求证:(1)数列收敛;(2)的极限值a是方程的唯一正根.解一:(1),; 又收敛,收敛,收敛,又因,故收敛。(2)令,且,即a是的根,令,故根唯一。解二:由已知,由此可见, (用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加)。设,。, 由知、收敛,令,;由,知,。对两边取极限得, 对两边取极限得, 由得,解得由知收敛,且为方程的根(再证唯一性)。十六、(12分)设在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证: , 其中D为圆环域:解一:令,。由已知当时,故解二:令,令为(逆时针),为(顺时针) ,。十七、(12分)如图所示,有一圆锥形的塔,底半径为R,高为,现沿塔身建一登上塔顶的楼梯,要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为,楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解:设曲线上任一点为,曲线参数方程为(*),在点的切向量为,垂线方向向量为。,化简得,由实际问题应,解得,由,得,故,将此式代入参数方程(*)即得楼梯曲线。十八、(10分)设在区间连续,, 试解答下列问题:(1)用表示;(2)求;(3)求证:;(4)设在内的最大值和最小值分别是,求证:. 解(1)(2)(3)(4)十九、(10分)求曲线 所围成的平面图形的面积.解1去掉绝对值曲线为:解2令.二十、(10分)设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧,计算曲面积分 解1S的方程为补两平面
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