8.2 一元线性回归模型及其应用最新课标(1) 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型 参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参 数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件(2) 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测教材要点要点一 一元线性回归模型我们称Y=bx+a+eE (e)=0, D (e)为Y关于x的一元线性回归模型,其中, Y 称为因变量或响应变量, x 称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为参数，b称为参数；e是Y与bx + a之间的随机误差.要点二 一元线性回归模型参数的最小二乘估计A1. 经验回归方程：将y =称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,AA求得的b ，a叫做b，a的最小二乘估计， （xi x ） （yi y）A i=1其中Ib= （ xi x ）.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果 （ yi y ）2i=1越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.基础自测 判断正误（正确的画“丁”，错误的画“X”）（1） 经验回归方程适用于一切样本和总体（）（2） 经验回归方程一般都有局限性（）（3）样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围（4）经验回归方程得到的预测值是预测变量的精确值（ 如果记录了 x， y 的几组数据分别为（0， 1）， （1， 3）， （2， 5），ii=1A A a= y b x 2. 残差：对于响应变量Y通过观测得到的数据称为观测值，A通过经验回归方程得到的A称为预测值，观测值减去预测值称为残 差.3. 用 决 定 系 数 R2 决 定 模 型 的 拟 合 效 果 ： R2 = 1 （ yiyi）2i= 1(3, 7),那么y关于x的经验回归直线必过点()A(2， 2) B(1.5， 2)C(1, 2) D(1.5, 4)A3. 已知经验回归方程y =2x + l,而试验得到一组数据是(2,4.9), (3, 7.1), (4, 9.1),则残差平方和是()A0.0lB0.02C0.03D0.044. 已知变量x, y线性相关，由观测数据算得样本的平均数GA A AA A A=4, y =5,经验回归方程y =b x+a中的系数b , a满足b + AAa =4，则经验回归方程为题型一 经验回归方程的求解及应用微点探究微点 l 公式法求经验回归方程例1某种产品的广告费用支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1) 画出散点图；(2) 求经验回归方程；(3) 试预测广告费用支出为10 百万元时，销售额是多少(参考数据：x； =145, xiyi= 1 380)i=ii=i状元随笔注意经验回归方程中的一次项系数为b ,常数项A 为d ,这与一次函数的表示习惯不同.微点2利用样本点中心(匚,亍)求经验回归方程例 2 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568由表中的数据得到的经验回归方程为y = bx+a，其中b =-20，预测当产品单价定为 9.5 元时，销量约为件状元随笔样本点的中心(-,-)在经验回归直线上.方法归纳求经验回归方程的步骤(1) 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响 应变量；(2) 画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性相关关系等)；(3) 由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相 关关系，则选用经验回归方程)；(4) 用最小二乘法求经验回归方程中的参数；(5) 写出经验回归方程跟踪训练 1 某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利 润 y（ 元）与该周每天销售这种服装的件数 x 之间有如下一组数据：x3456789y66697381899091已知xf =280, y； =45 309, xiyi=3 487.i=1i=1i=1（1）求 x , y ；（2）求纯利润y与每天销售件数x的经验回归方程；（3）估计每天销售10件这种服装时,纯利润是多少元？题型二 经验回归分析师生共研例3已知某种商品的单价x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求 y 关于 x 的经验回归方程,并说明回归模型拟合效果的好 坏方法归纳R2 越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果 越好在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量变化的 贡献率，R2越接近于1，回归的效果越好（因为R2越接近于1，解 释变量和响应变量的相关性越强）.若对某组数据可以采取几种不 同的回归方程进行回归分析，则可以通过比较几个R2，选择R2大 的模型作为这组数据的回归模型跟踪训练 2 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售， 随机调查了该产品的月销售单价x(单位:元/件)及相应月销量y(单 位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i=1, 2, 3, 4， 5)的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价xz.(元/件)99.51010.511月销售量歹,(万件)1110865(1) 建立y关于x的经验回归方程；(2) 该公司开展促销活动,当该产品月销售单价为7元/件时, 其月销售量达到18万件,若由回归直线方程得到的预测数据与此 次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件,则认为所得 到的经验回归方程是理想的,试问： (1)中得到的经验回归方程是 否理想？(3) 根据(1)的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时(销售单价不超过1 1 元/件),公司月利润的预计值最大？n 乙xyn x yA A AA i = 1A参考公式：经验回归方程A = bx+a,其中A=, an 乙x2 n x 2 ii=i A=y b x .参考数据：%必=392, Ex； =502.5.i=1i=1题型三 非线性经验回归方程的求解师生共研例 4 为了研究某种细菌繁殖的个数 y 随时间 x 变化的情况收集如表数据：天数x(天)123456繁殖个数y(个)612254995190(1)用天数作解释变量,繁殖个数作响应变量,作出这些数据的散点图(2) 观察散点图是否可用曲线y=Cec2x拟合，描述解释变量 与响应变量之间的关系方法归纳求非线性经验回归方程的步骤 (1)确定变量，作出散点图(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数(3) 变量置换，通过变量置换把非线性经验回归问题转化为经 验回归问题，并求出经验回归方程(4) 分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合 效果(5) 根据相应的变换，写出非线性经验回归方程跟踪训练3电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电.由 经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(bv0)表示现测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示:t012345678910U100755540302015101055试求电压U对时间t的回归方程.试建立 y 关于 x 的回归方程解析：作出散点图，如图(1)所示，由散点图可以看出，图象 近似反比例函数在第一象限的部分，因此1令u = x，由已知数据，可得变换后的样本数据：u4210.50.25y1612521作出散点图，如图(2)所示，可以看出，变换后的样本点分布 在一条直线的附近，因此可以用经验回归方程拟合计算得U 二 1.55, y 二7.2, 口：片二94.25, u f 二21.312Euy - 5 u yA-A -4.13 , a 二 y - b u 0.8.u2 - 5 u 2i从而得到y关于u的回归方程为$二4.13u + 0.8，则y关于x的回归方程为A二空 +0.8.x【易错警示】易错原因解决此题易出现如下错误：根据数据计算得x =1.55, y =7.2, x iyi = 23, x 2 =21.312 5,代入公式计算得b 心一3.53,i=1i=1AAa心12.67，从而得到y关于x的回归方程为y =3.53x+12.67.事实上,由散点图可知样本点并没有呈线状分布,两个变量 不具有很强的线性相关关系错解是由于没有按照建立回归模型 的基本步骤解题,忽略了画散点图,没有观察数据之间的关系造 成错误(2)一些非线性回归问题可通过中间量变换,转化为经验回归 问题求解纠错心得(1)解决这类问题必须严格按照建立回归模型的基本步骤,不能主观臆断,必须按部就班,依照步骤解题温馨提示：请完成课时作业（十五）82元线性回归模型及其应用新知初探课前预习要点一截距 斜率要点二AAl.b x+A 经验回归直线基础自测1. (1)X(2) V (3)7(4) X2解析：因为 x01234二15 , y135744，所以样本点的中心为（1.5， 4），而经验直线过样本点的中心故 选 D.答案：DAA3.解析：因为残差a i = yi-y i,所以残差的平方和为(4.9 -5)2 + (7.1 - 7)2 + (9.1 - 9)2 二 0.03.故选 C.答案： CA A A4.解析：经验回归方程y二b x + y过样本中心点（4 , 5）, 所以 4b + y 二 5 ；yy又a +b 二4 ,4b + a 二 5 解方程组A Ala + b = 4，a 11a = 3所以经验回归方程为：a1 113 x +可A答案：yx11题型探究课堂解透题型一例 1 解析： (1)散点图如图所示(2) x=255 二5, y250二 50.x.y. - 5 xa i= 1 :b =i=11 380 - 5X5X50二.二 6.5 ,-145 - 5X525x2a - y - b x =50 - 6.5X5 = 17.5 ,所以所求的经验回归方程为a二6.5x + 17.5.(3)根据