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2018届安徽省江淮十校高三第三次(4月)联考(解析版)数学(理科)第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,则,故选C2. 已知 ,则关于复数的说法,正确的是( )A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数所对应的点位于复平面的第四象限【答案】B【解析】依题意,则,故,故,故复数z的虚部为4,复数z所对应的点(-5,4)位于复平面的第二象限,综上所述,故选B3. 已知函数最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象( )A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】,所以,从而选A4. 下列命题中,真命题是( )A. ,有 B. C. 函数有两个零点 D. ,是的充分不必要条件【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A错误;当sinx=-1时,B错误;有三个零点,x=2,4,还有一个小于0,C错误;当,时,一定有,但当,时,也成立,故D正确,选D.5. 若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,。选A.6. 若双曲线:的离心率为,则双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,所以渐近线的方程为,故选C7. 执行如图所示的程序框图,当输入的时,输出的结果不大于的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由程序框图可知,当输入x时,输出结果为,所以当,所以输出的结果不大于75的概率,故选C8. 已知实数,满足不等式组,若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】不等式组对应平面区域是以A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形(如图),因为过定点A(-1,0),由题意直线过BC的中点E,所以斜率,选B.9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题:“今有刍童,下广两丈,袤三丈,上广三丈,袤四丈,高三丈,问积几何?”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛,下底(指面积较小的长方形)宽丈,长丈;上底(指面积较大的长方形)宽丈,长丈;高丈.问它的体积是多少?”现将该几何体的三视图给出如图所示,则该几何体的体积为( )立方丈.A. B. C. D. 【答案】A【解析】将几何体上底面的4个顶点投影在下底面,连接垂足和下底的顶点,将几何体分割,中间为一个长方体(体积),每个侧面都可以分割为2个三菱锥和1个三菱柱,体积为,所以几何体体积为。选A.10. 若直角坐标系内、两点满足:(1)点、都在图象上;(2)点、关于原点对称,则称点对是函数的一个“和谐点对”,与可看作一个“和谐点对”.已知函数,则的“和谐点对”有( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】作出函数()的图像关于原点对称的图像,看它与函数的交点个数即可,观察可得交点个数为2.选B.【点睛】新定义型题一是按定义处理问题,二是转化为己学过的知识与方法处理,本题与可看作一个“和谐点对”,其实是部分图像关于原点对称与另一部分图像交点个数问题。.11. 设函数,如果在上恒成立,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,令得,取,则恒成立,所以可以取得最大值,选D【点睛】做小题时用特殊值是缩小范围,再针对选项进行合理猜测与推导不凡是一种迅速的解题方法。12. 用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有多少种( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有=360种不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数。不使用新的颜色,有2种颜色分类方案;使用1种新的颜色,分为2类;第一类,染一条边,有种方案;第二类,染两条对边,有种方案。使用2种新的颜色,分为4类;第一类,染两条邻边,有种方案;第二类,染两条对边,有种方案;第三类,染三条边,有种方案;第四类,染四条边,有2种方案。因此不同的染色方案总数为,选C.【点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,是根据颜色来进行分类,再分步涂色。第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13. 已知,且,则向量与向量的夹角是_【答案】【解析】 ,填。14. 在 的展开式中,的系数是_【答案】【解析】,填165.15. 设为曲线上的动点,为曲线上的动点,则称的最小值为曲线、之间的距离,记作.若:,:,则_【答案】【解析】的图像关于对称,所以只需求出曲线上的点到的距离的最小值,对应的函数为,所以斜率为1的切线方程对应的切点为(1,),从而切线方程为,与的距离为,所以,填。【点睛】由于曲线表示的是两个互为反函数的图像,图像关于直线y=x对称,所以转化为曲线上的点到直线的距离的最小值的2倍。16. 在中,设,分别表示角,所对的边,为边上的高.若,则的最大值是_【答案】【解析】有题设条件,所以,又所以,得,其中,令,则,所以的最大值是。【点睛】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.三、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前项的和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项的和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由公式,可求得,代入,可求得。(2)由(1)可知,所以由错位相减法可求数列的前项的和。试题解析:(1),所以,得 .(2),所以 ,所以 .错位相减得 , .所以.【点睛】当数列通项形式为,且数列是等差数列,数列是等比数列,则数列的前n项和,我们常采用错位相减法。18. 四棱锥中,且平面,是棱的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)取中点,连接、,四边形是平行四边形,通过证明面ACD,来证明平面。(2)取中点,过N点做BE的平行线为y轴,NB,NA分别为x,z轴建立空间直角坐标系,由空间向量求二面角的余弦值。试题解析:(1)取中点,连接、,是中点,且.又因为,.又,四边形是平行四边形.,又,是等边三角形,平面,平面,平面,平面.(2)取中点,则,平面,以为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为,.可得,;设平面的法向量,则得,取,设平面的法向量,则得,取,于是 ,注意到二面角是钝角,因此,所求二面角的余弦值就是.【点睛】利用平面的法向量求二面角的大小时,二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时cos ;由图形知二面角是钝角时,cos .当图形不能确定时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)19. 近年电子商务蓬勃发展,年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为,对快递的满意率为,其中对商品和快递都满意的交易为次.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计(2)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的次购物中,设对商品和快递都满意的次数为随机变量,求的分布列和数学期望.附:(其中为样本容量)【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)由题意得n=200,再由满意率可求得a,b,c,d填入列联表,算卡方与数据对比。(2)由二项分布写出布列及期望。试题解析;(1)列联表:对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计 ,由于,所以没有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.(2)每次购物时,对商品和快递都满意的概率为,且的取值可以是,.;.的分布列为:所以 .或者:由于,则.【点睛】独立性检验的关键(1)根据22列联表准确计算K2,若22列联表没有列出来,要先列出此表.(2)K2的观测值k越大,对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小,H0不成立的概率越大.二项分布进行n次试验,如果满足以下条件:(1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”(2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1p.(3)各次试验是相互独立的用X表示这n次试验中成功的次数,则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n)若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的二项分布,记为XB(n,p)20. 已知离心率为的椭圆焦点在轴上,且椭圆个顶点构成的四边形面积为,过点的直线与椭圆相交于不同的两点、.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,且(为坐标原点).求当时,实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由离心率率与面积,可求得。(2)由(1)椭圆方程为,设直线的方程为,由直线椭圆方程组方程组,再由判别式,这两个不等式可求得参数k的范围,再由的坐标表示及点P在椭圆上,可求得与k的有关系,通过k的范围求出的范围。试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意可知,得,;又顶点构成四边形的是菱形,面积,所以,椭圆方程为.(2)设直线的方程为或,当的方程为时,与题意不符.当的方程为时,由题设可得、的坐标是方程组的解.消去得,所以,即,则, ,因为 ,所以 ,解得,所以.因为,即,所以当时,由,得,上述方程无解,所以此时符合条件的直线不存在:当时,因为点在椭圆
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