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第一章学业质量标准检测时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1dx等于(B)A2ln2B2ln2Cln2 Dln2解析因为(2lnx),所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲线yx33x21在点(1,1)处的切线方程为(B)Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析点(1,1)在曲线上,y3x26x,y|x13,即切线斜率为3利用点斜式得,切线方程为y13(x1),即y3x2故选B3(2018全国卷文,6)设函数f(x)x3(a1)x2ax若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)Ay2x ByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax, f(x)3x22(a1)xa又f(x)为奇函数, f(x)f(x)恒成立,即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立, a1, f(x)3x21, f(0)1, 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx故选D4(2018青岛高二检测)下列函数中,x0是其极值点的函数是(B)Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析对于A,f (x)3x20恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于B,f (x)sinx,当x(,0)时,f (x)0,故f(x)cosx在x0的左侧区间(,0)内单调递减,在其右侧区间(0,)内单调递增,所以x0是f(x)的一个极小值点;对于C,f (x)cosx10恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于D,f(x)在x0没有定义,所以x0不可能成为极值点,综上可知,答案选B5已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值,则a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3,由条件知,x3是方程f (x)0的实数根,a56(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是(D)解析观察导函数f(x)的图象可知,f(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知,排除A,C如图所示,f(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x20,故选项D确,故选D7若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值等于(D)A2B3C6D9解析f (x)12x22ax2b,又因为在x1处有极值,ab6,a0,b0,ab()29,当且仅当ab3时取等号,所以ab的最大值等于9故选D8函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是(D)Aa BaCa Da解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1),要使函数f(x)的图象经过四个象限,则f(2)f(1)0,即(a1)(a1)0,解得a故选D9(2018沈阳一模)设函数f(x)xex1,则(D)Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析由于f(x)xex,可得f(x)(x1)ex,令f(x)(x1)ex0可得x1,令f(x)(x1)ex0可得x1,即函数在(1,)上是增函数令f(x)(x1)ex0可得x1,即函数在(,1)上是减函数所以x1为f(x)的极小值点故选D10(2017全国卷理,11)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值是(A)A1 B2e3 C5e3 D1解析函数f(x)(x2ax1)ex1则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30,所以a1所以f(x)(x2x1)ex1,f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立,得x2或x1时,f(x)0,且x0;2x1时,f(x)1时,f(x)0所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1故选A11已知函数f(x)xlnx,g(x)x3x25,若对任意的x1,x2,都有f(x1)g(x2)2成立,则a的取值范围是(B)A(0,) B1,)C(,0) D(,1解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2),函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,g5,g(2)8451由于对x1,x2,f(x1)g(x2)2恒成立,f(x)g(x)2max,即x时,f(x)1恒成立,即xlnx1,在上恒成立,axx2lnx在上恒成立,令h(x)xx2lnx,则h(x)12xlnxx,而h(x)32lnx,x时,h(x)0,x1,2时,h(x)0,则a(ex1ex1)2a,要使f(x)有唯一零点,则必有2a1,即a若a0,则f(x)的零点不唯一故选C二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13(2017南开区二模)已知f(x)x(2016lnx),f(x0)2017,则x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017,f(x0)2017lnx02017,则lnx00,x0114(2018海淀区校级期末)已知函数f(x)x22lnx,则f(x)的最小值为1解析函数的定义域(0,)f(x)2x2令f(x)0x1; f(x)00x1所以函数在(0,1单调递减,在1,)单调递增所以函数在x1时取得最小值,f(x)minf(1)1故答案为115如图阴影部分是由曲线y、y2x与直线x2、y0围成,则其面积为ln2解析由,得交点A(1,1)由得交点B故所求面积Sdxdxxlnxln216(2018玉溪模拟)已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x10245f(x)12021函数yf(x)在x2取到极小值;函数f(x)在0,1是减函数,在1,2是增函数;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0其中所有正确命题是(写出正确命题的序号)解析由图象可知当1x0,2x4时,f(x)0,此时函数单调递增,当0x2,4x5时,f(x)0,此时函数单调递减,所以当x0或x4时,函数取得极大值,当x2时,函数取得极小值所以正确函数在0,2上单调递减,所以错误因为x0或x4时,函数取得极大值,当x2时,函数取得极小值所以f(0)2,f(4)2,f(2)0,因为f(1)f(5)1,所以由函数图象可知当1a2时,函数yf(x)a有4个零点;正确因为函数在1,0上单调递增,且函数的最大值为2,所以要使当x1,t时,f(x)的最大值是2,则t0即可,所以t的最小值为0,所以正确故答案为三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2018赣州二模)设函数f(x)(x1)2alnx有两个极值点x1,x2,且x1x2求实数a的取值范围解析(1)因为f(x)(x1)2alnx,f(x)2(x1),(x0)即f(x),令g(x)2x22xa,(x0)则(x1x2)是方程2x22xa0的两个正实根则,得0a0)(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为,求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)a,(1)当a1时,f (x),当x(0,)时,f (x)0,当x(,2)时,f (x)0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a,因此a19(本题满分12分)在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为,试求切点A的坐标及过切点A
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