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学习必备欢迎下载勾股定理经典例题类型一:勾股定理的直接用法1、在ABC中,C=90(1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?类型二:勾股定理的构造应用2、如图,已知:在中,.求:BC的长.1、某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元20m15030m举一反三【变式1】如图,已知:,于P.求证:.【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。学习必备欢迎下载类型三:勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。到达B举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?(二)用勾股定理求最短问题4、如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程学习必备欢迎下载类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、作法:如图所示的线段。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析:可以把看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作ACOA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题:猫有四只脚(正确)2原命题:对顶角相等(正确)3原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等(正确)4原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等(正确)7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。举一反三【变式1】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。学习必备欢迎下载【变式2】已知ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。【答案】答:DEEF。证明:设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF(如图)DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。练习一、判断直角三角形问题:1、.满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是A.b2=c2a2B.abc=345C.C=ABD.ABC=1213152、若一个三角形的三边长的平方分别为:32,42,x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52C.7D.52或73、如果ABC的三边分别为m21,2m,m2+1(m1)那么A.ABC是直角三角形,且斜边长为m2+1B.ABC是直角三角形,且斜边长2为mC.ABC是直角三角形,但斜边长需由m的大小确定D.ABC不是直角三角形4、已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm,则RtABC的面积是()A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2+n2,m2n2,2mn(m,n均为正整数,mn);a2,a2+1,a2+2.其中能组成直角三角形的三边长的是()A.;B.;C.;D.6、三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.7、已知x-6+y-8+(z-10)2=0,则由此x,y,z为三边的三角形是三角形.学习必备欢迎下载9、已知a,b,c为ABC三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断ABC的形状.10、若ABC的三边长为a,b,,根据下列条件判断ABC的形状.(1)a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=011、已知,ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明ABC是等腰三角形。经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。学习必备欢迎下载总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40类型二:勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN30,点A处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。类型三:数学思想方法方程的思想方法、如图所示,已知ABC中,C=90,A=60,求、的学习必备欢迎下载值。思路点拨:由,再找出、的关系即可求出和的值。解:在ABC中,A=60,B=90-A=30,则因为,由勾股定理,得,所以,。,。总结升华:在直角三角形中,30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三:【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。解:因为ADE与AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。因为四边形ABCD是矩形,所以B=C=90,在ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以。所以。设,则。在ECF中,即即EF的长为5cm。,解得。三、折叠问题1、已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则ABE的面积为()A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABED
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