不等式知识结构及知识点总结.知识结构磔木fl用柞士或作湎求阖旭UM超兀 次不等K1雏43面区M1-次南&TUl+h构肃d,沟:； 4=- ii-（tl+n -A）3构位斜率；片套.4iY FT y C 就M山 下和为定值.朋行拈上值：投为定度和有最小微i t* ido. tn?解不等式借劭二次海物图象.利用三个二次网的关系-mor：* jfXrjfiK-ir ：&*/（0 H（r?*OJ FlK w系益比为IE. 一穿梅法” .奇穿儡不穿二.知识点1、不等式的基本性质（对称性）abu ba （传递性）a b,b c a c（可加性）a b ：= a c b c（同向可力口性）ab,cAd = a+ c:b+d （异向可减性） a b, c ： d = a - c b - d（可积性）a b, c . 0 = ac bca b, c ：二 0 = ac :二 bc（同向正数可乘性）a b 0,c d 0= ac bd（异向正数可除性）a b 0,0 c2 c d（平方法则）ab0= anbn（n=N,且n 1）（开方法则）a b 0= Va n/b（n w n,且n 1）_. .1111（倒数法则）ab0= 一 ;ab- a ba b2、几个重要不等式22a2 b2a2+b222ab a, b=R ,（当且仅当a = b时取=号）.变形公式：ab2Vabab yObc （a、b、CW R4）（当且仅当a = b = c3时取到等号）.a2 +b2 +c2之ab + bc +ca(a, be R )(当且仅当a = b = c时取到等号) a3+b3+c3 3abc(a0,b 0,c0)(当且仅当a = b = c时取到等号).b ab a一右ab 0,则一+22 (当仅当a=b时取等号) 右ab 0,则一+W - 2 (当仅当a=b a ba b时取等号)_ bbmana,一1b0, m 0, n 0)规律：小于1同加则变大，大于1aambnb同加则变小.当a 0时，x au x2 a2y x a;x au x a u a x a.绝对值三角不等式 a| |b - a -b - a b .2723、几个著名不等式平均不等式：一2_ _ OB ia_b a,b a, b R,，(当且仅aA bA2.2当a =b时取=号).(即调和平均几何平均算术平均工平方平均).变形公式：ab - a_ a b ； a2 b2 - (a b).222哥平均不等式：a12-a22.an2- 1 (a1-a2,-an)2.n二维形式的三角不等式：x；y；,x22y22一 (x -x2)2(y1 一y2)2(为，丫1?2,丫2R).二维形式的卞西不等式 (a2 +b2)(c2+d2)Wac + bd)2(a,b,c,dw R).当且仅当ad = bc时，等号成立.三维形式的柯西不等式:(42 +a22 +a32)(b12 +b22 +b32)之(a1bl +a2 b2 +a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12 a22 . an2)(b12 b22 . bn2) 2-(a1bi a2b2 . anbn).向量形式的柯西不等式：设J,百是两个向量，则，司纲同，当且仅当 田是零向量，或存在实数k,使oT=k百时， 等号成立.排序不等式(排序原理)：设 a a2 . an,b! Wb W. Wbn 为两组实数.G,C,.,Cn 是 b|,b2,.,bn 的任一排列，则a1bn+a2bl。+anb| wa1G+a2c2+2门孰Ea1bl+a2b2+ anbn.(反序和 w乱序和 1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 aX2 +bX + c 0(或 0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数 .二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画： 画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿( 奇穿偶见)，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 .段) 0= f(X) g(X) 07、分式不等式的解法：先移项通分 标准化,贝U g(x) ,( “ 0f (x) a2f(x),.函 a(a 0)上f(x) 0.f(x) g(x)：- g(x) _0-2f(x) g(x)f(x),a2 g 0) =T f(x)_0“、f(x)-0或nfYl -n Jf (x) 0g(x)：.u2f(x)：g(x)f(x) ,0、f (x) . g(x) = g(x) ,0f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：当 a 1 时,af (x) ag(x) u f (x) g(x)当 0 a 1时，| 一、 I /、1/、 c 当0a1时，,loga f(x) logag(x)= g(x) 0,f(x) g(x)f(x) 0loga f(x) logag(x)= g(x) 0.f (x)二 g(x)规律：根据对数函数的性质转化.a (a 0),11、含绝对值不等式的解法： 定 乂法： a = W.7平万法：1-a (a 0 )f(x)| |g(x) = f2(x)Mg2(x).同解变形法，其同解定理有： x Mau a w x Wa(a 之0); x 之au x 之a或xWa(a 2 0);f(x) Wg(x)= -g(x) f(x) 0)f (x)之g(x)u f (x)占g(x)或f(x) 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax +bx+c0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与0的大小；讨论 与0的大小；讨论两根的大小 .14、恒成立问题不等式ax2+bx+c 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a = 0时 =b=0,c0;当a/0时一 了0不等式ax2+bx + c0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 a =0时=b =0,c0;当a*0时 心。A：:0. f （x） a 恒成立 仁 f （x）max a; f （x） Wa恒成立 u f （x）max a; f （x）之a恒成立u f（x）min之a15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线 Ax + By + C = 0的同一侧的所有点的坐标代入Ax+By +C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x0,y0）（如原点），由Ax0+By0+C的正负即可判断出 Ax + By+C0（或0 （或0）,观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax + By +C A0 （或0,则使目标函数z = Ax + By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；若B 0,则使目标函数z = Ax+By所表示直线的纵截距最大