空间插值陈雪南京信息工程大学 江苏省 南京市一、空间插值的概念空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分 布模式进行比较，它包括了空间内插和外插两种算法。空间内插算法就是通过已知点的数据 推求同一区域未知点数据。空间外推算法是通过已知区域的数据，推求其它区域数据。例如：在一个没有数据记录的地点，其降水量可通过对附近气象站已知降水量记录的插值 来估算出来。二、空间插值的要素进行空间插值要有两个基本条件：已知点和插值方法。1、控制点 控制点是已知数值的点，也称为已知点、样本点或观测点。控制点提供了为空间插值建 立插值方法的必要数据。空间插值的一个基本假设是估计点的数值受到领近控制点的影响比 较远控制点的影响更大。2、空间插值的方法类型空间插值有多种分类方法 第一，它可以分为全局和局部拟合法。全局插值法利用现有的每个已知点来估算未知点 的值。而局部插值法则是用已知点的样本来估算位置点的值。这两种方法的区别就是用于估 算的控制点数目不一样。其次空间插值方法还分为精确和非精确插值法。对某个数值已知的点，精确插值法在该 点位置的估算值与该点已知值相同。换句话说，精确插值所生成的面通过所有控制点。相反， 非精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。第三，空间插值方法可以分成确定性和随机性两种。确定性插值方法不提供预测值的误 差检验。随机性插值方法则用估计变异提供预测误差的评价。三、一般插值过程 内插方法（模型）的选择； 空间数据的探索性分析，包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计 进行内插； 内插结果评价； 重新选择内插方法，直到合理; 内插生成最后结果。四、插值方法选择的原则 精确性； 参数的敏感性:许多的插值方法都涉及到一个或多个参数，如距离反比法距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有截然 不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其值不过多地依赖变量值的插值方法。 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。 存储要求：同耗时一样，存储要求不是决定性的。特别是在计算机的主频日益提高，内 存和硬盘越来越大的情况下，二者都不需特别看重。 可视化、可操作性（插值软件选择）：三维的透视图等。五、空间插值的数据采样采样点的空间位置对空间插值的结果影响很大。（1）理想情况是研究区内均匀布点：但当区域景观存在有规律的空间分布模式时，用 完全规则的采样网络可能会得到片面的结果；（2）完全随机的采样：采样点的分布位置是不相关的，完全随机采样可能会导致采样 点的分布不均，一些点的数据密集，另一些点的数据缺少。（3）规则采样和随机采样的结合方法是成层随机采样，即划分为规则格网，每个格网 中的样本数固定，但单个点随机地分布于规则格网内。六、空间插值的类型1、整体插值、局部插值和边界内插法整体插值：用研究区所有采样点数据进行全区特征拟合。整个区域的数据都会影响单个插值 点，单个数据点变量值的增加、减少或者删除，都对整个区域有影响。典型例子是：全局趋势面分析 某些区域化地质变量，如地层面的深度、地层厚度、地层水矿化度等，均可认为其分布在三 维空间的某个曲面G上。若已知G,则可根据它来研究这些地质变量在区域上的分布规律和 局部特征。实际的工作中无法得到准确的G,但却可以根据已知的观测数据：Mi （Xi, Yi, Zi） （i=l, 2,n）,构造（拟合）一个近似于G的数学曲面L。一般把这个拟合的曲面L称为趋势面。 趋势面分析就是在空间中已知点Mi （Xi, Yi, Zi）的控制下，拟合一个连续的数学曲面， 并以此研究地质变量在区域上和局部范围内变化规律的一种统计方法。拟合的数学曲面叫做 趋势面。多项式和傅立叶级数是趋势面分析常用的数学模型。一、多项式曲面的一般形式1. 当数据为一维时1）线性回归：Z=a+aX0 14A-t * ” 2）非线性：二次或高次多项式Z=a0+aiX+a2X2 （二次曲线）2、数据是二维的二元二次或高次多项式 Z=a+aX+aY+aX2+aXY+aY2 （二次曲面）0 1 2 3 4 5式中Z变量；X, Y观测点的地理坐标。若多项式中自变量的最高次数为k,则称这种多项式为k次多项式。多项式曲面的形态将随 着k的增大而趋向复杂。图 1-3 次多项式趋势面示意图对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的统计资料，找出它们在数量变化方面的规律这种统计规律所揭示的关系就是回归关系，所表示的数学方程就是回归方程。Y vs . X30&DO0250000-2WOOO-15000D-lOUOOC-5&DOO-WOCO 1SOOC 20CO0 25000 30000 35000最小二乘法 图中的直线可表示为根据上式，在确定的情况下，给定一个X值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根据上 式得到的y值与实际的y值存在一个误差，如果我们以u表示误差，则方程变为：+u为回归系数u 为随机误差项使直线与各散点的距离的平方和最小2kjiy cos根据最小化的一阶条件，将式分别对x,y求偏导，并令其为零，即可求 一阶线性平面可模拟具有单一坡度的斜坡地形表面；二次曲面方程可表达山头、洼地区域 三次曲面则能描述较为复杂的地形曲面。2、 调和趋势面分析 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的组合，它具有波动的特征。=F（石刃二$ 咼仞芒孑cos+ Cd sin弐产/=o Jt=o匕HLn 2t7rx . 2ky TTr . Itrrx . v i+rcossin + Wit smsmL HL H 1地层界面的波状起伏、沉积旋回、地球磁场的变化等都表现出不严格的周期性重复。因此 调和趋势面有时更有利于把具有波状特征的地质变量的趋势部分和异常分开，进而研究地质 变量的波动特征。多项式与调和趋势面的比较由于以下缺点，在空间内插中整体内插并不常用：采样点的增减或移动都需要对多项式的系数作全面调整，从而采样点之间会出现难以控 制的振荡现象，致使函数不稳定；解算速度慢且对计算机容量要求较高；不能提供内插区域 的局部地形特征。 优点：整个区域上函数的唯一性、能得到全局光滑连续的空间曲面、分反映宏观地形特征等。 在空间内插中，一般是与局部内插方法配合使用，例如在使用局部内插方法前，利用整体内 插去掉不符合总体趋势的宏观地物特征。整体内插函数常常用来揭示整个区域内的地形宏观 起伏太势。全局多项式插值法适用于在数据集中创建平滑表面及标识长期趋势。然而，在地 球科学中，除了长期趋势之外，感兴趣的变量通常还具有短程变化。当数据集显示出短程变 化时，局部多项式插值法地图可捕获这种变化。局部内插法将区域按一定的方法进行分块，对每一块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插， 每一块都可用不同的曲面进行表达，称为空间分块内插。 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如下： 定义一个领域或搜索范围；搜索落在此领域范围的数据点；选择能表达这有限个点空间变化 的数学函数；为未知的数据点赋值。局部内插方法： 线性内插，移动拟合法 反距离权重内插Kriging 插值 单个数据点的改变只影响其周围有限的数据点。十格网点*己知点*1、线性内插Z=a +a X+a Y0 1 2将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a。、a】、a2。2、双线性多项式内插Z=a +a X+a Y+a XY0 1 2 3将内插点周围的4个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a。、a】、a2、a3。3、移动拟合法 逐点内插：是以内插点为中心，确定一个领域范围，用落在领域范围内的采样点计算内插点 的值。逐点内插本质上是局部内插，但与局部分块内插有所不同：局部内插中的分块范围一经确定， 在整个内插过程中其大小、形状和位置是不变的，凡是落在该块中的内插点，都用该块中的 内插函数进行计算；逐点内插法的领域范围大小、形状、位置乃至采样点个数随内插点的位 置而变动，一套数据只用来进行一个内插点的计算。4、反距离权重插值 IDW权重:距离的n次幕倒数,每个样本点对预测点的贡献不一样，权重大小随距离大小而变化。权重系数wj的计算是关键问题，不同类型距离反比法的差别就是权重系数的计算公式因而最后的插值结果也有细微的差别。边界内插法使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是 均匀的、同质的。Thiessen 多边形法，荷兰气候学家 Thiessen 提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来 计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。用这个多边形内所包含的一个唯 一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。其数学表达式为：v=vei其中V表示待估点变量值，V表示i点的变量值。d =min（d ,d , d ）eieie1 e2 en2、确定性插值和地统计插值确定性方法 确定性插值法是使用数学函数进行插值，以研究区域内部的相似性（如反距离加权插值法）， 或者以平滑度为基础（如径向基函数插值法）由已知样点来创建预测表面的插值方法。 全局多项式插值、反距离权插值、局部多项式插值地统计学插值基于自相关（测量点的统计关系），根据测量数据的统计特征产生曲面；克里格方法依赖于 数学模型和统计模型，正是由于引入了包括概率模型在内的统计模型，使克里格方法与确定 性插值方法区分开来。在克里格方法中预测的结果将与概率联系在一起。由于建立在统计学 的基础上，因此不仅可以产生预测曲面，而且可以产生误差和不确定性曲面，用来评估预测 结果的好坏。多种 kriging 方法克里金插值由南非采矿工程师D.G克里格于1951年首次提出，故命名为“克里金”法，后 经法国著名地理数学学家G.Matheron发展神深化。I：MI 235m爭2 m*、2 * * t - (639. 4W)*Srnplci Loculkx虚 Ehlmabnn &怕(300,501空间自相关是指一些变量在同一个分布区内的观测数据之间潜在的相互依赖性。地理数据由 于受空间相互作用和空间扩散的影响，彼此之间可能不再相互独立，而是相关的。例如，视 空间上互相分离的许多市场为一个集合，如市场间的距离近到可以进行商品交换与流动，则 商品的价格与供应在空间上可能是相关的，而不再相互独立。实际上，市场间距离越近，商 品价格就越接近、越相关。首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布。确定对一个待插点值有影响的距 离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对 象提供一种最佳线性无偏估计。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的 空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计， 而对每一个样品赋予一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。Kriging 插值的方法zo= zWX X式中：Zo为待插入点的值；Zx 为已知点的值Wx 为每个点的权重值计算Wi,通过变异