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福建师范大学21春近世代数在线作业一满分答案1. 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积圆的方程为 (x-b)2+y2=a2 显然,此环状体的体积等于由右半圆周x2=2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差,因此所求的环状体的体积 由几何意义知其值为 2. (1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中,应该有几片树叶? (2)画出两棵不同构的满足条件(1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中,应该有几片树叶?(2)画出两棵不同构的满足条件(1)的结点次数的无向树T1,T23. 平面上四点(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,a,b)能构成一个二维射影坐标系时,参数a,b应满足的条件是_平面上四点(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,a,b)能构成一个二维射影坐标系时,参数a,b应满足的条件是_正确答案:ab且b0ab,且b04. 求与直线x9y1=0垂直的曲线y=x33x25的切线方程求与直线x+9y-1=0垂直的曲线y=x3-3x2+5的切线方程因为曲线y=x3-3x2+5上任一点处切线的斜率为 y=3x2-6x 而直线x+9y-1=0的斜率为-1/9依题意有 3x2-6x=9 解之得x1=-1,x2=3故可求得切点 对应于该两切点的切线斜率为 k1=y|x=-1=9及k2=y|x=3=9故两切线方程为 y-1=9(x+1) 及y-5=9(x-3) y-9x-1=0及y-9x+22=0 5. 求一个等边三角形的边置换群和顶点置换群。求一个等边三角形的边置换群和顶点置换群。如图8.3所示,将等边三角形的边与顶点分别标记。则三角形分别有绕中心旋转0,120,240的三个对称0,1,2,以及每个顶点与对边中心连线为轴的翻转对称:1与c中点连线的翻转1;2与a中点连线的翻转2;3与b中点连线的翻转3,关于顶点的置换为 关于顶点置换群Gc=0,1,2,1,2,3,关于边的置换为 关于边置换群为 6. 设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn,证明:A的由第j1,j2,jr列组成的向量组与.B的由第j1,j2,jr列组成设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn,证明:A的由第j1,j2,jr列组成的向量组与.B的由第j1,j2,jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P,使得PA=B.设A,B按列分块分别为 A=1 2n,B=1 2n 则PA=B可写成 P1 P2Pn=1 2n 即Pj=j (j=1,2,n) (3-37) 设有一组数x1,x2,xr,使得 (3-38) 用矩阵P左乘上式两端,并利用(3-37)式,得 (3-39) 反过来,若有x1,x2,xr使(3-39)式成立,用P-1左乘(3-39)式两端,并利用P-1j=j,便得(3-38)式成立.故关于x1,x2,xr的两个齐次线性方程组(3-38)与(3-39)是同解的,当它们只有零解时,向量组和向量组都线性无关;当它们存在非零解时,向量组和向量组都线性相关,且如果有常数k1,ki-1,ki+1,kr,使,则对应地有.所以向量组与向量组有相同的线性相关性.本题证明了:矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性.由此可知,若A与B行等价,则为B的列向量组的极大无关组为A的列向量组的极大无关组. 7. 盒子中有10个球,其中8个白球和2个红球,由10个人依次取球不放回,求第二人取出红球的概率盒子中有10个球,其中8个白球和2个红球,由10个人依次取球不放回,求第二人取出红球的概率0.28. 设D=0,10,1,证明函数 在D上部可积。设D=0,10,1,证明函数在D上部可积。对D作任意的分割T:1,2,n,则f(x,y)关于分割的上和与下和分别为 其中, 所以 故f(x,y)在D上不可积。 9. 设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt,St与D。,并设对于t0,1,2,有 (1)St2Pt1 (2)设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt,St与D。,并设对于t0,1,2,有 (1)St2Pt1 (2)Dt4Pt15 (3)StDt ()求证:由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt12Pt2; ()已知P。时,求上述方程的解正确答案:10. 长为2l的杆,质量均匀分布,其总质量为M,在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点,求它们之间引力的大小长为2l的杆,质量均匀分布,其总质量为M,在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点,求它们之间引力的大小建立如下图所示的坐标系,取x为积分变量,x-l,l任取一微元x,x+dx,小段与质点的距离为,质点对小段的引力为 铅垂方向的分力元素为 由对称性在水平方向的分力为Fx=0 11. 在数域F上x23x2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0在数域F上x2-3x+2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案: B12. 热力学系统的状态取决于_;如果系统的_全部都有确定值,则系统的_就一热力学系统的状态取决于_;如果系统的_全部都有确定值,则系统的_就一定是确定的。正确答案:状态函数、状态函数、状态状态函数、状态函数、状态13. 某种动物从出生而活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄是20岁的这种动物活到25岁的概率是0.6某种动物从出生而活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄是20岁的这种动物活到25岁的概率是0.6参考答案:错误错误14. 总体XN(,2),检验假设H0:;x1,x2,x11是一个样本,=0.05,则H0的拒绝域为( )总体XN(,2),检验假设H0:;x1,x2,x11是一个样本,=0.05,则H0的拒绝域为()或15. 两奇函数之和是_,两奇函数之积是_,两偶函数之积是_,一个偶函数与一个奇函数之积是_。(两奇函数之和是_,两奇函数之积是_,两偶函数之积是_,一个偶函数与一个奇函数之积是_。(填奇、偶函数)奇函数$偶函数$偶函数$奇函数16. 试证明: 设fk(x)是E上非负可积函数列,且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)0若有 (k=1,2,), 则试证明:设fk(x)是E上非负可积函数列,且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)0若有(k=1,2,),则证明 令Fk(x)=maxf1(x),f2(x),fk(x),我们有0F(x)Fk+1(x)(kN)若记Fk(x)F(x)(k),则 ,FL(E). 从而得 . 17. 已知f(x)=sinx,f(x)=1-x2,且,则(x)=_已知f(x)=sinx,f(x)=1-x2,且,则(x)=_arcsin(1-x2)()18. 一厂商经营两个工厂,生产同一种产品在同一市场销售,两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16,一厂商经营两个工厂,生产同一种产品在同一市场销售,两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16, C22Q222Q24 而价格函数为 P746Q,QQ1Q2 厂商追求最大利润试确定每个工厂的产出正确答案:厂商的收益函数为 RPQ74Q6Q274(Q1Q2)6(Q1Q2)2rn 利润函数为 LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210rn 由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为Q12Q23时厂商的利润最大厂商的收益函数为RPQ74Q6Q274(Q1Q2)6(Q1Q2)2利润函数为LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为Q12,Q23时,厂商的利润最大19. 列出多重集S=2a,1b,3c的所有3-组合和4-组合。列出多重集S=2a,1b,3c的所有3-组合和4-组合。3-组合包括:2a,1b,2a,1c,1a,1b,1c,1a,2c,1b,2c,3c。 4-组合包括:2a,1b,1c,2a,2c,1b,3c,1a,1b,2c,1a,3c。 20. 已知当x0时,函数,若函数f(x)在点x=0处连续,则函数值f(0)=_已知当x0时,函数,若函数f(x)在点x=0处连续,则函数值f(0)=_2由于函数f(x)在点x=0处连续,因而函数值f(0)等于极限注意到在x0的过程中,恒有x0,这时函数,因此所求函数值 于是应将“2”直接填在空内 21. 关于函数极限和数列极限的关系,有哪些应用?关于函数极限和数列极限的关系,有哪些应用?我们有下述定理给出的更强的结果: Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是:对任何数列xn,满足xnx0(n)且xnx0(nN+),有存在. 这个性质称为函数极限的归并性,它有以下一些应用: (1)证明极限不存在,只需找出一个数列xn:xnx0(n),且xnx0(nN+),数列f(xn)发散;或找出两个数列xn和xn:xnx0,xnx0(n),xnx0,xnx0(nN+),数列f(xn)和f(xn)有不同的极限 (2)为求极限,可以先找一个数列xn:xnx0(n),xnx0(nN+),求出数列f(xn)的
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