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“导数在研究函数中的应用”教学案例导言:高中数学内容抽象,推理严谨,应用广泛,难教难学,已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”,不少学生不免谈“数”色变,敬而远之,乃至发出数学在时时“折磨我们”的惊叹!笔者从大学毕业一直从事中学数学的课堂教学与教学研究,通过几年的探索发现:要想提高课堂效率,就必须改变传统的“填鸭式”教学让学生成为课堂的主人,并积极引导学生要善于从数学的基本问题与特点出发,善于用数学的思想与方法驾驭数学知识!设计理念:根据新课程高中数学的教学实际及本节课的内容特点,本课时的教学先从几个基本问题入手,在解决基本问题的过程中唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾,充分体现了“学数学就是做数学”的理念.;通过变式训练来凸现“数学思维与思想方法”、显现数学问题的紧密联系性,让学生初步感知数学的自然、简约与美好;通过学生自编练习来培养学生的发散性思维和创造性潜能.教学目标:1、知识目标:掌握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法,理解极值、最值区别与联系.2、能力目标:通过本节内容的教学,渗透数形结合、化归等重要数学思想,增强学生数形结合能力与化归意识,培养学生的创造性潜能.3、情感目标:通过利用表格研究函数单调性与数形结合的应用,让学生亲身体验数学的简约美,感受极值、最值的和谐统一美,激发学生“学好数学”的情趣,增强学生“学好数学”的信心.教学重点:能利用导数求一些初等函数的单调区间、极值、最值.教学难点:导数在研究函数中的综合应用.教学过程实录:1 基本问题:再现知识,夯实“双基”教师:牛顿、莱布尼兹创立了微积分,导数作为微积分的重要组成部分,进入了中学教材,有了导数这个工具,我们研究函数如虎添翼.这节课我们从一个基本问题出发,来一次利用导数研究函数的探索之旅.请看下面的问题:问题1 已知函数.(1) 求单调区间;(2)的极值.学生1(板演):解:(1) 令得:或;令得:的单调递增区间为,单调递减区间为(2)由(1)可知,当时,有极大值;当时,有极小值.教师:你能根据已经解决的两个问题,画出的大致图象吗?学生众:能!教师:请画出的大致图象(一名学生到黑板上画)教师:请大家对这位同学画的图与屏幕上“几何画板”画的图作一下比较(对学生画的图的评价略)12-1O教师:从的图象看,在上有无最大值、最小值?学生2:由于的图象无最高点、最低点,所以在上无最大值、最小值.教师:很好.如果将定义域限制在闭区间上呢?学生3:在闭区间上必有最大值和最小值.教师:为什么?学生3:是可导函数,在闭区间上连续,所以必有最大值和最小值.教师:不错,这位同学的基本功很扎实.现在请同学们解决问题2.问题2 求函数,的最大值、最小值.学生4(板演):在问题1的基础上,列表如下:0(0,)(,2)2(2,)40000.学生3:利用的图象可以直接求出的无最大值、最小值.教师:太棒了!学生4从数的角度解决了问题2,学生3从形的角度解决了问题2.如果把这两位同学结合起来,也就是把数跟形结合起来了.学生4采用了表格,不仅单调性表示得很清楚,而且最大值、最小值也很明显,真可谓是“一举两得”;而学生3采用图象,让我们从直观上看到函数增减性很最值,可谓是各有千秋啊!他们的共同点是:简洁明了.教师:力求简约,追求卓越,是数学的一大魅力.数学实际上很美,只是我们缺少了审美的眼光!有人说数学是无声的诗、立体的画,而我个人认为数学如同音乐般美丽,可以说“音乐是感性的数学,数学乃理性的音乐”,你听说过吗?学生众:没有!教师:要学好数学、玩好数学,我们需要一双慧眼,去努力发掘蕴涵数学之中的美如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等,要学会处处体验数学的自然、简约与美好!教师:问题1与问题2说明利用导数可以研究函数的哪些性质?如何研究?学生众:其一,求函数的单调区间;其二,求函数的极值;其三,求函数的最值.(方法从略)教师:这三类问题是利用导数研究的主要问题,刚才同学们归纳得相当不错,表明大家对导数的应用有了较深刻的认识. 教师:学数学如果到这里就停下来,那你肯定称不上是一个数学“高手”,至少你是一个学数学很累的人!那么怎样才能学好数学?我们不仅要掌握数学的知识,而且更要增强用数学思维去理解、思考与解决问题的意识!下面我们将问题1、2进行变式,首先将的解析式中的一次项系数改为,就成为含参数的函数了,得到如下的变式1,请同学们思考.2 变式练习:知识迁移,触类旁通变式1 已知函数在(1,2)上为减函数,在(2,)上为增函数,求实数的值.学生5:,由已知,是的极小值点,所以,得.教师:这样做有没有缺陷?学生3:还要检验,不过经过检验室符合的.教师:很好,如果去掉“在(2,)上为增函数”这一条件,结论如何呢?学生众(经过思考、讨论):由已知,对恒成立,所以,解得.教师:我们暂时把这个问题搁置一下,来研究函数在上的单调性与其导函数的关系.学生:,所以函数在上是减函数.教师:回头看前面的解法有无问题?学生1:有点小问题.应该是对恒成立,下同.学生2:我还有一种解法.由前面的解法,得对恒成立,而当时,所以.教师:已知含参数的函数在某区间上是增(减)函数,求参数的范围问题,通常利用“若是非常数函数,且为可导函数,则在某区间上是增(减)函数某区间上恒有”.转化为含有参数的不等式恒成立问题,学生1利用了二次函数的图象的性质,学生2利用了参数分离法,都是常用的方法.再来解决变式2.变式2 已知函数在处有极小值,求的值.学生6(板演):.令,得或.由已知.是函数的极小值点,.教师:变式2是问题2第(2)小题的逆向问题:已知含参数的函数的极值点,求参数问题.请同学们归纳解决的策略.学生7:利用“可导函数在点处有极值的必要条件是”得到关于参数的方程,解出方程的根,再检验.教师:完全正确,再来解决变式3.变式3 设函数,是否有“对任意不等式恒成立.”请说明理由.学生3:由问题3知,在上的最大值为,最小值为0,所以对任意恒有.教师:这种方法你是怎么想到的?学生3:从的图象得到启发.教师:讲得很在理,函数图象是研究函数不可或缺的工具,在今后可别忘了它的作用!变式3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的绝对值小于某正常数,我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数,当然有一个前提是学生众:在此区间上有最大值与最小值.学生1:我的想法是将,代入,行吗?教师:这位同学爱动脑筋,这种方法请课后取探讨.现在请同学们编一道题目,就叫变式4吧.3 编题练习:提升能力,发展思维学生4:我编的题目是:(变式4)已知函数的图象与直线有相异的三个公共点,求实数的取值范围.改为有相异的两个公共点呢?改为有相异的一个公共点呢?教师:你们觉得这位同学编的题目如何?学生:很有创意!教师:同学们还可以编出许多其他问题,请课后继续研究,现在请同学们解决这个问题(变式4).学生:由图象可得当时,函数的图象与直线有相异的三个公共点;当或时,有相异的两个公共点;当或时,有一个公共点.教师:学生4编的题目是方程的根的个数问题,可以归结为函数的极值问题,同学们既能编题,也能解题,体现了较高的数学素质.现在请同学们谈谈学习这节课的感受.4 体验过程:完善学生认知,发展学生能力学生4:想不到我也会编题.学生2:许多利用导数研究函数的问题可以归结为三类基本问题:求单调区间、求极值与求最值.学生5:在解决数学问题时,我们要注意各个问题的内在联系与不同之处,今后我要加强变式练习和编题练习.学生6:利用导数解决学生2提出的三类基本问题的一般步骤为:(1)求导函数(2)列表或作图来分析原函数的单调性(3)在定义域范围内具体解决问题.(具体方法从略)教师:非常好!前面几位同学都发表自己的感受,也总结了本节课的主要内容.我想其他同学也一定有自己的感受,课后大家要好好交流交流,这节课我们就上到这里!5 教学反思:1、本节课没有采用传统的数学复习课教学模式:知识归纳例题讲解反馈练习,而是一开始呈现了问题1和问题2,在解决问题的同时唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾,充分体现了“学数学就是做数学”的理念.然后,以学生的已有知识利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发,让学生在新的问题情境中,引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题,在问题解决过程中获得新知,让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系,从而进一步完善数学认知结构.如果我们长期坚持这样去做,学生的创造潜能一定会得到充分发展.2、如果说数学新授课教学实现知识“从薄到厚”的话,那么数学复习课教学应实现“从厚到薄”.本节课紧紧抓住了利用导数研究函数的三类基本问题这一核心,变式1和变式2作为这三类问题的逆向问题,解决问题的思想方法与原问题一脉相承,变式3和变式4最终可以转化为这三类问题,正所谓“万变不离其宗”.变式教学在培养学生数学技能和思维品质等方面不仅非常有效,而且非常实用,在教学中我们一定要充分运用.在复习课中,从一个有价值的基本问题出发,进而变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式,这样复习课就会成为学生数学探究的重要阵地.3、对于基础较好的班级,还可以让学生探究如下变式:当时,求证:不等式对恒成立.一方面,引导学生从形的角度去探索,可以利用“几何画板”进行动态演示,揭示问题的几何背景;另一方面,引导学生从数的角度去探索,把问题转化为函数的最值问题,进一步让学生感悟转化思想.4、教无定法,教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤,切实把关注学生的发展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教学计划.如,对于较好的班级,则可以优先发展,采取居高临下的教学思路,先整体把握再对比击破,或是将其纳入整体结构系统,采取类比的学习方式;而对于基础较薄弱的班级,则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主,千万不可拔苗助长,以防物极必反.总体来讲,我在教学中深刻的体会到新教材与以往的不同,新教材以学生为本的教学理念始终贯穿本课.我对自己教授本课基本上是满意的,完成了制定的教学目标.但有些细节还有待完善,在今后的工作中我将会改进.
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