问题重述一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，让我们根据钓上的鱼的长度来估计它的体重。现假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且测得到8条鱼的如下数据：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6重量(g)76548211627374821389652454问题分析我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但影响鲈鱼体重的因素并不唯一，我们要考虑单一变量对鱼体重的影响，即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系，我们要根据已知数据，利用相关软件进行模拟，来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。模型假设1 假设池塘里只有一种鲈鱼，不存在其他鱼种。2 假设池塘里鲈鱼数量众多，分布均匀，密度相同。3 假设鲈鱼全都正常生长，没有人为因素影响鲈鱼的发育与成长。4 假设鲈鱼的体态用与胸围等周长，鲈鱼的躯干近似呈圆柱形。5 假设鲈鱼的身长和胸围与体重成正相关关系。符号说明 鲈鱼的身长L鲈鱼的胸围C鲈鱼的体重W模型三的待定系数模型的建立与求解模型一：建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：方法一：我们把图形可以近似看成一条抛物线，身长与体重近似成二次函数关系通过多次拟合可得： W=1.6247*L2-59.3124*L+709.7392(1)根据拟合的函数，我们画出拟合图：从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好. 方法二： 根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下：1 -80 3008 -37262从而得到了拟合函数：模型二：鲈鱼体重与胸围的模型确立 仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式： W=92*C-1497.5 根据拟合函数，画出胸围与体重关系的拟合图：从图形上看，大部分点分布在直线左右，我们可以近似看成二者成线性关系。模型三：同时考虑身长、胸围对体重的影响：此模型要用到基本假设4及即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：，问题转化为对系数的求解。利用MATLAB软件和已知的八组数据可以求出对应的值：0.0303 0.0305 0.0322 0.0334 0.0326 0.0346 0.0338 0.0341 为了得到精确地模型对数据进行处理0.0327因此 模型检验模型一方法一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389拟合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相对误差（%）3.20.445.73.444.935.753.570.86平均相对误差为：从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。方法二：得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：身长（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389拟合值（g）454.4481.4481.4695.5726.6726.61180.01377.1相对误差（%）5.730.126.046.671.415.021.640.86平均相对误差为： 3.44% 从表中的数据，我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差，所以方法二的结果更贴近实际。模型二鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389拟合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81 平均相对误差为： 从表中的数据，我们可以看出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不太大。模型三重量估计值及相对误差重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相对误差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相对误差为： 4.0375%根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际，更合适推广。模型优点：模型简单，易于理解 数据处理简明，计算思路清晰。 通过对比，结果更有说服力。模型缺点：模型是根据个人经验建立，可能存在误差。 鲈鱼呈梭形，看成圆柱较牵强。 画两散点图的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454 ;plot(x,z,*)xlabel(身长);ylabel(体重);title(身长与体重散点图);plot(y,z,*)xlabel(胸围);ylabel(体重);title(胸围与体重散点图);画身长与体重拟合图程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;x1=30:0.1:50;z1=1.6247.*x1.2-59.312.*x1+709.7392plot(x,z,*,x1,z1)xlabel(身长);ylabel(体重);title(身长与体重拟合图);画胸围与体重拟合图程序：y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;y1=20:0.1:40；z1=92.*y1-1497.5;plot(y,z,*,y1,z1)xlabel(胸围);ylabel(体重);title(胸围与体重拟合图);得到式（1）、（2）表达式的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;v1=polyfit(x,z,2);v2=polyfit(y,z,1);得到模型三的程序：y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;c=y.2;x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=c.*x;w=765 482 1162 7374821389 652 454;a=w./z;sum(a)/8建模中利用到MATLAB的程序如下L=31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1;W=482 482 454 652 737 765 1162 1389;plot(L,W,*)xlabel(L),ylabel(W);p=polyfit(L,W,3)p =1.0e+004 *0.0001 -0.0080 0.3008 -3.7262L=31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1; C= 21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8; W=482 482 454 652 737 765 1162 1389;a=W./L./C.2a = 0.0334 0.0322 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305鲈鱼体重问题实验102范吉轩唐超 黄逸宁