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2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文新人教版2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积教师用书 文 新人教版1向量的夹角已知两个非零向量a和b,作a,b,则AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是:0,2平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积,记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|.特别地,aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba;(2)(a)b(ab)a(b)(为实数);(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2,由此得到(1)若a(x,y),则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB|.(3)设两个非零向量a,b,a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y20.(4)若a,b都是非零向量,是a与b的夹角,则cos .【知识拓展】1两个向量a,b的夹角为锐角ab0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角ab0且a,b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是0,()1(教材改编)已知向量a(2,1),b(1,k),a(2ab)0,则k等于()A12 B6C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1,k)(5,2k),由a(2ab)0,得(2,1)(5,2k)0,102k0,解得k12.2(2017南宁质检)已知向量a与b的夹角为30,且|a|1,|2ab|1,则|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21,即42|b|b21,由此求得|b|,故选C.3(2017银川调研)若平面四边形ABCD满足0,()0,则该四边形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形答案C解析由0得平面四边形ABCD是平行四边形,由()0得0,故平行四边形的对角线垂直,所以该四边形一定是菱形,故选C.4(2016北京)已知向量a(1,),b(,1),则a与b夹角的大小为_答案解析设a与b的夹角为,则cos ,又因为0,所以.5(2016厦门模拟)设xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,则|ab|_.答案解析ab,ab0,即x20,x2,a(2,1),a25,b25,|ab|.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE2EF,则的值为()A B.C. D.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_答案(1)B(2)11解析(1)如图,由条件可知,所以()()22.因为ABC是边长为1的等边三角形,所以|1,BAC60,所以.(2)方法一以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.方法二由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB1,|11,当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC1,()max|11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab|a|b|cosa,b(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解(1)(2016全国丙卷)已知向量,则ABC等于()A30 B45 C60 D120(2)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,则等于()A20 B. 15 C9 D6答案(1)A(2)C解析(1)|1,|1,cosABC,又0ABC180,ABC30.(2),(43)(43)(16292)(1662942)9,故选C.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2016西安模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|,|b|2,在ABC中,2a2b,2a6b,D为BC的中点,则|_.(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的最大值是_答案(1)2(2)1解析(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b,所以|24(ab)24(a22bab2)4(322cos 4)4,所以|2.(2)设D(x,y),由(x3,y)及|1,知(x3)2y21,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0,)(x,y)(x1,y),|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1,)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1,)之间的距离为,故的最大值为1.即|的最大值是1.命题点2求向量的夹角例3(1)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos ,向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为,则cos _.(2)若向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),已知2a3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)因为a2(3e12e2)2923212cos 49,所以|a|3,因为b2(3e1e2)2923112cos 18,所以|b|2,ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128,所以cos .(2)2a3b与c的夹角为钝角,(2a3b)c0,即(2k3,6)(2,1)0,4k660,k3.又若(2a3b)c,则2k312,即k.当k时,2a3b(12,6)6c,即2a3b与c反向综上,k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cos ,要注意0,(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:abab0|ab|ab|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x,y),则|a|.(1)(2015湖北)已知向量,|3,则_.(2)在ABC中,若A120,1,则|的最小值是()A. B2C. D6答案(1)9(2)C解析(1)因为,所以0.所以()2|20329.(2)1,|cos 1201,即|2,|2|22222|26,|min.题型三平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m,n(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值解(1)因为m,n(sin x,cos x),mn.所以mn0,即sin xcos x0,所以sin xcos x,所以tan x1.(2)因为|m|n|1,所以mncos,即sin xcos x,所以sin,因为0x,所以x,所以x,即x.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等(1)已知O为坐标原点,向量(3sin ,cos ),(2sin ,5sin 4cos ),且,则tan 的值为()A BC. D.(2)已知向量a(,),ab,ab,若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则OAB的面积为_答案(1)A(2)1解析(1)由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0,即6sin25sin cos 4cos20,上述等式两边同时除以cos2,得6tan25tan 40,由于,则tan 0,解得tan
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