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第三部分 上下文无关语言和下推自动机 前面介绍的有限自动机是计算的初级模型,它所接受的正规语言不太关心字符串自身的结构。 上下文无关文法(CFL)是一种简单的描述语法规则的递归方法,语言中的字符串由这些规则 产生。所有的正规语言都能用上下文无关文法描述,它也可以描述非正规语言。上下文无关文 法描述的语法规则更复杂多变,可以在相当大的程度上,描述高级程序设计语言的语法和其他 一些形式语言。类似正则语言对应的抽象机模型是有限自动机,CFL也有对应的抽象机模型。CFL对应的计算 模型是在有限自动机的基础上增加存储空间得到,并被设想成无限空间(对应有限自动机的有 限空间),采用了一种简单的管理模式,栈(stack),这种新的计算模型(或抽象机)称为下 推自动机(pushdown automata),下推是栈最典型的操作。有必要在下推自动机中保留非确定 性,确定型下推自动机不能接受所有的CFL,但给定一个CFG,容易构造一个相应的非确定型 下推自动机,它在识别字符串过程中的移动模拟了文法的推导过程,这个过程称为分析(parse)。 分析不是一定需要下推自动机来完成。CFL仍然不够通用,不能包括所有有意义的、或有用的形式语言。采用类似第五章的技术,我 们将给出一些不是CFL的简单例子,这些技术也用于解决与CFL相关的判定问题。6 上下文无关文法6.1 上下文无关文法的定义为了描述我们在第二部分考察的各种语言,包括一些非正则语言,我们引入一种语言的递 归定义方法,称为文法。文法与我们熟悉的语言的语法描述相近,是描述语言和分析语言的有 力工具。问题:文法的形式化定义似乎可以模仿有限自动机,比如 5元组或6元组之类。例子6.1正如我们在例子2.16中所见,字母表a, b上的回文语言pal可以用下面的递归方 法描述:1. A, a, b epal2. 对每个Sepal, aSa和bSb也属于pal3. pal中不包含其他字符串如果将上面的符号S看成一个变量,代表了所有我们希望计算(比如某种递归算法)的pal 的元素,那么上面的规则 1 和规则2可以非正式地重新表述如下:1. S的值可以是A, a, b2. 每个S可以写成aSa或bSb的形式如果我们用T表示“可以取值为”,贝阿以写出下面的式子:SaSaTabSbaTab Aba=abba 上面的产生过程可以总结成下面的两组产生式(或称规则): STa | b |ASTaSa | bSb符号“I”表示“或”的含义。上式的含义是aSa或bSb,而不是a或b,即连接运算的优 先级高于“|”。我们使用的这套术语中,小写字母a和b表示终结符,大写字母S表示非终结 符,或称变量。总共有5条规则,或产生式(production)。符号S是非终结符,也是起始终结 符,即我们生成字符串的起始符号是S,然后不断利用规则替换符号串中的非终结符,直到最 终得到一个不含非终结符的符号串,就生成了规则所定义的语言的一个字符串。例子2中的产生式具有除起始符S外的多个非终结符,我们设想S表示了语言中任意的字 符串,其他非终结符表示了其他辅助性的字符串类型,他们可用来方便地生成S表示的字符串。例子6.2我们要构造一个生成所有在字母表a, b上的非回文字符串的文法,那样的字符串 可以描述如下:从字符串的两端开始比较,也许能够发现一些相同的字符对,但最终能够发现 一对不同的字符。对于前一种情况,我们可以借用回文语言的产生式:SaSa I bSb如果加入产生式Sa I b I A 则这种左右匹配的形式将体现在整个字符串上,为了中断这种左右匹配的情况,即体现上面提 到的第二种情况,我们引入新的非终结符,比如D,表示那些左右两个端点上的字符不同的字 符串。且所有符合D的字符串也符合S,因此有SDo非终结符的定义比较简单,它唯一的条件是左右两个端点的字符不相同,中间的字符串可 以是任意的,我们用非终结符A表示任意的字符串,则有DaAb I bAaoA表示任意的字符串,因此A的产生式更简单了,不用添加新的非终结符来简化问题,它 的产生式是, AA I aA I bA。我们把上面三个非终结符的产生式写在一起,就得到了描述所规定语言的产生式集:SaSa I bSb I DDaAb I bAaAA I aA I bA因此一个完整的非回文字符串“abbaaba”的产生过程是,S aSaabSbaabDbaabbAabaabbaAabaabbaAabaabbaaba定义6.1上下文无关文法(context-free grammar, CFG)是一个4元组G=(V,工,S, P),其中, V和工是不相交的有限集,S eV,P是一组有限的产生式规则,形如 Aa,其中AeV,且 ae(VuE)*oV的元素称为非终结符(或变量),工的元素称为终结符,S是一个特殊的非终结符,称为 起始符, P 的元素称为语法规则,或产生式。设G=(V,工,S, P)是一个CFG,我们将符号保留给P的产生式专用,符号nG用于表示字G符串的产生过程的每一步,如anG卩表示字符串卩能够通过替换a中的某些变量(根据P定义的 产生式来替换)得到,即如果有a =a1Aa2 且 AyeP,则B=aja2。这里能够看到,我们命名为上下文无关(context-free)的含义,即我们在利用产生式规则, 用一组符号替换某个非终结符时,与非终结符的上下文无关(此处,A的替换与a 1和a2无关), 替换是无限制的。在没有多个文法出现,很清楚用到文法G是什么的情况下,推导符号n可以简写成二。G多步的推导可以写成n*G,即如果存在一组符号串,a=a0、a 1、ak=p,每个后者都是前者 的直接推导,则称为a可以多步推导出卩,记为an*G卩,简写成an*卩。定义6.2 G=(V, Z, S, P)是一个CFG,则G产生的语言是所有可由G产生的字符串组成的集 合,即 L(G)=xeZ* | S n*Gxo 一个语言 L 是上下文无关语言(context-free language, CFL ), 当且仅当存在一个CFG G,使得L=L(G)o此处可以把文法设想成类似自动机的抽象模型,则一个语言 L 是 CFL 当且仅当存在一个 CFG G 接受它(或识别它),类似前面正则语言与有限自动机的关系,接受(或识别)的含义 是两方面的,一方面凡是L中的字符串都能由G产生,另一方面,凡是不属于L的字符串都不 能由G产生。前面的例子,能够比较容易地说明这两方面的限制,下面的例子则不是很明显。例子6.3考虑语言L=xw0, 1* I n0(x)=n(x),其中ni(x)表示数字i在x中的出现次数(即 含有相同数目0和1的语言)。写出生成L的CFG。1分析:既然 CFG 的本质是一个递归定义,那么类似例子 6.1,我们可以先发现归纳基础, 然后找到归纳推理。显然AeL,另外如果存在一个字符串xeL,那么得到更长的属于L的字符 串的两个方法是,0x1和1x0,即分别在两端添加相同数量的0和1。(当然,还有很多生成方 法,比如x01, x10,或在x中插入相同数量的0和1),这样得到三个产生式:StA I 0S1 I 1S0显然,还遗漏了一些字符串,如0110。我们注意到L中任意两个元素的连接仍然属于L, 因此可以增加一个产生式,StSSo与前面的三个产生式合并,我们得到一个CFG G如下,StA I 0S1 I 1S0 I SS显然G产生的字符串都满足0和1数目相等这个条件,即L(G)cL,现在只要证明LcL(G)o令d(x)=n0(x)-n1(x)o则字符串xeL,当且仅当d(x)=0。因此只需证明每个满足d(x)=0的x, 都有xeL(G)。我们用数学归纳法来证明LcL(G)o归纳对象是字符串的长度1x1。1. 归纳基础,1x1=0且d(x)=0,则xeL(G),这是显然的,因为此时x=A,而A可以由产生 式StA得到。2. 归纳推理,设k=0,每个满足Iylv=k, d(y)=0的字符串y都属于L(G)。要证明每个长 度等于k+1且d(x)=0的字符串x也属于L(G)o分情况讨论如下:a) 如果x以0开始,以1结尾,则可以写成x=0y1,且d(y)=0,根据归纳假设yeL(G), 即存在一组推导,Sn*Gy。因此对于x,存在推导,Sn0S1n*0y1nx。Gb) 如果x以1开始,以0结尾,类似a)的处理,能够得到从S到x的推导。c) 如果x以0开始,且以0结尾。则x的长度至少为2,设x=0y0。现在考察x的所 有前缀z的d(z),其中d(0)=1, d(0y)=d(0y0)-d(0)=-1, 而d(z)随着z的长度增1,至多增加1或减少1,而当前缀从0变化到0y时,d(z) 从1变化到-1,因此存在某个长于0短于0y的前缀z,使得d(z)=0,则x=zw,显 然d(w)=0,由于z、w的长度都0的x都能由 G0 产生,对 x 的长度应用数学归纳法。1. 归纳基础,显然1x1=1且d(x)0时,即x=0, x可由StO推导,属于L(GO)。2. 归纳推理,设k=0,对每个lxlv=k且d(x)0的x都属于L(G0),要证明每个lxlv=k且 d(x)0的x也属于L(G0)。分情况讨论,此处仅讨论x=0y0的情况(即以0开始和结尾 的情况),a) x 仅由 0 组成,易证。b) x至少含有一个1。则x=w1z,现在证明d(w)0且d(z)0。设x含有n个1,n=1, 对每个1=viv=n,令w.是x的前缀,紧接wi的下一个字符就是第i个1,则x=w.1z.。ii i分两种情况1)不存在wi,使得d(wi)0,则d(wn)0,令 w=wn, z=zn,显然d(z)0,得证;2)存在一个wi,使得d(wi)=0,设i=m是第 一个d(wi)0,且d(wm-1)=10,令 w=wm-1, z=zm-1,易证 d(zm-1)0,因此得证。其他两种情况, x 以 1 开始,以 1 结尾证明略。类似方法能够得到生成L1的产生式,我们用A表示生成L0的产生式,B表示生成L1的 产生式,那么生成语言L的全部文法是:StA l B
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