第9讲 生活中的圆周运动考点1 水平路面上汽车匀速转弯问题 水平路面上汽车匀速转弯是依靠指向圆心的静摩擦力提供向心力，该力最大值可认为等于滑动摩擦力。如果汽车转弯的速率过大，静摩擦力不足以提供向心力，汽车将做离心运动而发生危险！ 【考题1】在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行驶。突然发现前方有一条很宽很长的河。试分析说明他是紧急刹车好还是转弯好?(设汽车转弯时做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等) 【解析】本题中最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，故最大静摩擦力等于，转弯时，最大静摩擦力提供向心力，故刹车时汽车水平方向所受合力就等于滑动摩擦力，汽车做减速运动，故: .比较刹车距离x和转弯半径R的大小即可 设汽车的质量为m车轮与地面的动摩擦因数为，刹车时汽车的速度为v，刹车距离为x 若汽车刹车，则有。 所以：； 若汽车转弯，则有， 所以 可见R2x，故司机还是采取刹车较好 【变式1l】质量为m的汽车，在半径为20m的圆形水平路面上行驶。最大静摩擦力是车重的0.5倍，为了不使轮胎在公路上打滑，汽车速度不应超过 m/s(g取10m/s2)考点2 火车转弯问题 铁路的弯道处将外轨设计成高出内轨一特定高度，即让铁路形成一个倾斜角，当火车以某一特定速度通过时，可以恰好由轨道的支持力与火车重力的合力提供向心力，火车对铁轨无侧向破坏性弹力【考题2】一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h10cm弯道半径为r625m，轨距L1435mm，求这段弯道的设计速度vo是多大?并讨论当火车速度大于或小于v0时内外轨的侧压力(g取10m/s2) 【解析】当火车以设计速度v0运行时，其受力示意图如图l01所示，其中G与FN的合力提供火车转弯时的向心力， ， 所以 当很小时，代人上式有： 讨论：当vv0时，外轨对外轮边缘产生沿路面向内的弹力(侧压力)，此时火车受力如图102所示，设火车的质量为m,根据牛顿第二定律有 联立上述两式解得: 由此看出，火车的速度v越大，F外越大，铁轨越容易损坏；若F外过大，会造成铁轨的侧向移动，损坏铁轨，造成火车出轨。 当vv0时，内轨对内轮缘产生沿路面向外的侧压力以抵消多余的向心力，同理有 联立解得 可以看出，v越小,F内越大，内轨的磨损也较大因此在有弯道限速标志的地方一定要遵守规定 【变式21】铁路转弯处的圆弧半径是300m，轨距是l435m，规定火车通过这里的速度是72kmh，内、外轨的高度差该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压?保持内、外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72km/h，会分别发生什么现象?说明理由考点3 汽车过拱形桥问题 汽车过凸形拱桥的最高点时，对桥面压力小于重力；汽车过凹形拱桥的最低点时，对桥面压力大于重力 (1)凸形拱桥 汽车过凸形拱桥的最高点时，由汽车受到的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力，如图10-5所示 所以汽车过凸形拱桥时， 汽车对桥的压力F与桥对汽车的支持力FN是一对作用力与反作用力，大小相等，所以压力的大小显然，汽车对桥的压力F小于汽车的重力G并且随车速增加而减小，当车速增加到满足时，F0，速度再增大，会出现“飞车”现象。这是很危险的 (2)凹形拱桥 汽车过凹形拱桥的最低点时，仍然是由桥对汽车的支持力和汽车的重力的合力提供向心力，如图l06。过凹形拱桥时， 同样汽车对凹形桥的压力.即：车对桥的压力比汽车的重力大，且速度越大，车对桥的压力也越大【考题3】一辆汽车匀速通过半径为R的凸形圆弧路面，关于汽车的受力情况，下列说法中正确的是( ) A汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力 B汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车的重力 C汽车的牵引力不发生变化 D汽车的牵引力逐渐变小 【解析】汽车受重力mg、路面对汽车的支持力FN、汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力)，如图103所示，设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角为， 汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以 汽车在到达最高点之前，角不断减小，由上式可见：汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中，不需要牵引力，反而需要制动力所以C选项不正确，D选项正确 在沿着半径的方向上，汽车有向心加速度，由牛顿第二定律有： 得：.可见，路面对汽车的支持力FN随的减小而增大，当到达顶端时因0达到最大，FNmg所以A选项不正确，B选项正确 【答案】B、D 【变式31】如图10一4所示汽车质量为l5104kg，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为l5m，如果桥面承受的最大压力不得超过2105N，汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？(g取10m/s2)考点4 “水流星”问题 当最高点速度时，水不会流出；当时，水桶实际上到不了最高点，水会全部流出 【考题4】如图l08所示，质量为01kg的水桶内盛水04kg，用50cm的绳子系住桶，使它在竖直面内做圆周运动。如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s和1Om/s，求水桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对桶的压力。 【解析】在最高点时，分别以水桶和水为研究对象。水和桶质量为M0.5kg水的质量为m04kg则水和桶受重力Mg和绳的拉力T1作用，有 即： 把数据代入上式可得T176N即桶对绳的拉力大小为76N方向向上。 水在最高点受重力mg和桶底对水的支持力N1的作用,有: 把数据代人上式，可得：N1=608N 则水对桶的压力大小为608N，方向向上。 在最低点时，水和桶受绳向上的拉力T2和向下的重力Mg作用。有： 把数据代入上式，可得：T2105N 则桶对绳的拉力大小为l05N，方向向下 水在最低点受桶向上的支持力N2和向下的重力mg作用，有 把数据代人上式，可得：N284N则水对桶的压力大小为84N，方向向下 【变式41】用长为L=06m的绳系着装有m05k9水的桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”求： (1)过最高点水不流出的最小速度为多少? (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力有多大?考点5 竖直平面内圆周运动的临界问题 竖直平面内圆周运动模型分为有支持物和无支持物两种，恰能过最高点的临界条件不同，应注意区别。 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。下面对临界问题简要分析如下： 1没有物体支持的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点，如图甲(小球在圆轨道内侧运动)和图乙(小球在绳的约束下运动)所示 (1)临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零小球的重力充当其做圆周运动所需的向心力设v是小球能通过最高点的最小速度则：, 则。 (2)能过最高点的条件： (3)不能通过最高点的条件：在这种情况下小球在达最高点之前就脱离了圆轨道，做斜抛运动。 2有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动的情况，如图丙(小球在内、外轨同时约束下运动)和图丁(小球在杆的约束下运动)所示 (1)临界条件：由于硬杆或内管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度硬杆或内管壁对小球的支持力： (2)当时，硬杆对小球是支持力或内管壁对小球是支持力：，支持力N随v的增大而减小，其取值范围是 (3)当时，硬杆对小球施加的是拉力，且拉力；或管的外壁对小球的竖直向下的压力 (4)当时，小球不受硬杆或管壁的作用力【考题5】长L=05m，质量可以忽略不计的杆，其下端固定于O点，上端连着一个质量为m2kg的小球A，A绕O点做圆周运动。如图1010所示g取10m/s2，在A通过最高点时，试讨论下列两种情况下杆的受力： (1)当A的速率v11m/s时： (2)当A的速率v24m/s时 【解析】解法一：小球在竖直平面内做圆周运动，属于杆球模型问题，当小球过最高点，只受重力作用时，重力提供向心力，根据，可得，因此当小球的速度大于时杆受拉力，小于时杆受压力 (1)当时，受力分析如图011所示，小球受向下的重力mg和向上的支持力FN 由牛顿第二定律得，得： 即杆受小球的压力为16N (2)当时受力分析如图l0l2所示，小球受向下的重力mg和向下的拉力F 由牛顿第二定律得: ， 即杆受小球的拉力为44N 解法二:小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可以不作具体的判断而假设一个方向，如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的(2)的情形由牛顿第二定律有，得到 (1)当时F1l6N，F1为负值说明它的实际方向与所设的方向相反即小球受力应向上，为支持力，则杆应受压力。 (2)当时F244N，F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力应向下，为拉力，则杆也应受拉力。 【变式511如图l0l3所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管道内做圆周运动。下列说法中错误的是( ) A小球通过最高点的最小速度为 B小球通过最高点的最小速度为零 C小球通过最高点时一定受到向上的支持力作用 D小球通过最低点时定受到侧管壁的向上的弹力 【变式52】长度为L=050m的轻质细杆OA，A端有一质量为m30kg的小球。如图l0一14所示，小球以0点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是20m/s，g取10m/s2则此时细杆0A受到( )A6ON的拉力 B6ON的压力 C24N的拉力 D24N的压力考点6 约束状态下圆周运动临界问题的综合分析 约束状态下部分圆周运动在出现临界问题时，常常伴随着几何关系、物理作用力性质的变化等情境，分析时应重点把握。 解决圆周运动问题的基本步骤 (1)确定做圆周运动的物体为研究对象，画出物体的运动轨迹，并确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 (2)对物体进行受力分析。 (3)对物体受到的力沿半径方向、切线方向和垂直于圆平面方向正交分解。 (4)在半径方向上根据牛顿第二定律、在垂直于圆平面方向依据平衡条件列方程求解。几种常见的匀速圆周运动的实例图表（如右图） 【考题6】如图l0一15所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，其半顶角300，一条不计质量、长为L且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点0点，另一端拴一质量为m的物体。物体以速度v绕圆锥体的轴线OO在水平面内做匀速圆周运动当和时，分别求出绳对物体的拉力。 【解析