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2011届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线.doc2009届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线 1. 已知常数m 0 ,向量a = (0, 1),向量b = (m, 0),经过点A(m, 0),以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0),以b- 4a为方向向量的直线交于点P,其中?R( (1) 求点P的轨迹E; (2) 若,F(4, 0),问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心,|QF|为半径的m,25圆与轨迹E交于M、N两点,并且|MF| + |NF| =(若存在求出k的值;若不35存在,试说明理由( l2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为,它的两焦点分别为F、F,直线过31221tan,lF且与直线FF的夹角为,且,与线段FF的垂直平分线的交点,212122PQ:QF,2:1为P,线段PF与双曲线的交点为Q,且,建立适当的坐标系,22求双曲线的方程. 253. 在直角坐标平面上,O为原点,M为动点,. 过点M作MM|OM|,5,ON,OM15OT,MM,NN?y轴于M,过N作NN?x轴于点N,. 记点T的轨迹为曲线C,点11111A(5,0)、B(1,0),过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间). (1)求曲线C的方程; (2)证明不存在直线l,使得|BP|=|BQ|; SB,tBQ. (3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S,若,证明 AP,tAQ54. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点,左、右焦点F、F在轴上,x122AF,AF,0双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。 ,FAF1212(1) 求双曲线C的标准方程; (2) 若直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),l:y,kx,ml且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。 22xy5.求与双曲线有公共渐进线,且经过点的双曲线的方程。 A,3,23,1,91622PFF,3575xy,6、已知分别是双曲线的左右焦点,是双曲线上的一点,且12:,FPF,FPF=120,求的面积 12127、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 22PAB8、已知半圆的直径为,点在半圆上,双曲线以为焦xyy,,1(0)AB,PPAB,,点,且过点。若,求双曲线的方程。 32229. 已知圆:x+y=c(c,0),把圆上的各点纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍2得一椭圆。 ?求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数; ?设圆与x轴交点为P,过点P的直线l与圆的另一交点为Q,直线l与椭圆的两交点为M、N,且满足,求直线l的倾斜角。 MN,2PQ22xy10. 已知点(x,y)在椭圆C:(a,b,0)上运动 ,,122aby(,xy)?求点的轨迹C方程; x,3,?若把轨迹C的方程表达式记为:y=f(x),且在内y=f(x)有最大值,试求0,3,椭圆C的离心率的取值范围。 22xyFCA11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、,,1(a,b,0)22abBN两点,为弦的中点;又函数的图像的一条对称轴的方y,a,sinx,3b,cosx,程是x,。 6C(1) 求椭圆的离心率与k; eONM,C(2) 对于任意一点,试证:总存在角使等式: ,(,R)OM,cos,OA,sin,OB成立. 212. 已知圆k过定点A(a,0)(a,0),圆心k在抛物线C:y=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化, (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系, 22xy,13. 如图,已知椭圆=1(2?m?5),过其左焦点且斜率为1的直线与mm,1椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=|AB|,|CD| (1)求f(m)的解析式; (2)求f(m)的最值. 114. 已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,右准线为一条渐近线l:x,2的方程是过双曲线C的右焦点F的一条弦交双曲线右支于P、Q两y,3x.2点,R是弦PQ的中点. (1)求双曲线C的方程; (2)若在l的左侧能作出直线m:x=a,使点R在直线m上的射影S满足PS,QS,0,当点P在曲线C上运动时,求a的取值范围. 2x215. 设分别是椭圆的左,右焦点。 F,F,y,11245PPF,PF,(?)若是第一象限内该椭圆上的一点,且, 124P求点的坐标。 ,AOB(?)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角M(0,2)A,Blk(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。 2y,ax(a,0),过抛物线C上一点P(x,y)(x,0)16. 抛物线C的方程为,作斜率000为的两条直线,分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点k,k(x,y),B(x,y)121122互不相同),且满足 k,,k,0(,0且,1).21(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; BM,MA, (2)设直线AB上一点M满足证明:线段PM的中点在y轴上; ,1 (3)当时,若点P的坐标为(1,1),求?PAB为钝角时,点A的纵坐标的取 值范围. 17. 如图,已知点F(1,0),直线l:x,1为平面上的动点,过P作直线l的垂QP,QF,FP,FQ.线,垂足为点Q,若 1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点M(,1,0)作直线m交轨迹C于A,B两点。 (?)记直线FA,FB的斜率分别为k,k,求k+k1212 的值; |MA|RA|(?)若线段AB上点R满足求证: ,|MB|RB|RF?MF。 18. 已知椭圆C的中心为坐标原点,F、F分别为它的左、右焦点,直 12线x=4为它的一条准线,又知椭圆C上存在点M使2MF,MF,|MF|,|MF|,|MF|,|MF|.121212(1)求椭圆C的方程; PF,FQ,求,PFQ (2)若PQ为过椭圆焦点F的弦,且内切圆面积最大2221,时实数的值. 22xy19. 已知椭圆,通径长为1,且焦点与短轴两端点构成C:,,1(a,b,0)22ab等边三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点Q(,1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=,4于点E,ABAB点Q分 所成比为,点E分所成比为,求证+为定值,并计算出该定值. 2220. 已知?M:轴上的动点,QA,QB分别切?M于A,Bx,(y,2),1,Q是x42两点,(1)如果,求直线MQ的方程; |AB|,3(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 答案: 1. 解 (1) ?a+b = ( m,),? 直线AP方程为y,(x,m);? m又b - 4a =(m, - 4), ? 直线NP方程为4;? y,(x,m),m22y4x222由?、?消去得 y,(x,m),即 ( ,,1224mm22 故当m = 2时,轨迹E是以(0, 0)为圆心,以2为半径的圆:x + y= 4; 2(,m,4,0)当m 2时,轨迹E是以原点为中心,以为焦点的椭圆: 2(0,4,m)当0 m 0,b0),设F(c,0),不妨设的方程为,1222ab2121,它与y轴交点,由定比分点坐标公式,得Q点的y,(x,c)P(0,c)22222214c21c坐标为,由点Q在双曲线上可得,又, ab,3(c,c),122369a36b2y2a,1?,?双曲线方程为. b,3x,13 ,3. (1)设点T的坐标为,点M的坐标为,则M的坐标为(0,), (x,y)(x,y)y125252525, ,于是点N的坐标为,N的坐标 ON,OM,(x,y)(x,y)155552525, 为,所以 (x,0)MM,(x,0),NN,(0,y).1155,x,x,25,OT,MM,NN,有(x,y),(x,0),(0,y),所以 由 ,11255,yy,.,5,5, 由此得 x,x,y,y.222y5x2222,|OM|,5,有x,y,5,所以x,(y),5,得,,1, 由 254即所求的方程表示的曲线C是椭圆. 3分 (2)点A(5,0)在曲线C即椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆C 无交点,所以直线l斜率存在,并设为k. 直线l的方程为 y,k(x,5).22,xy,,1,2222 由方程组得(5k,4)x,50kx,125k,20,0.54,y,k(x,5),552 依题意,20(16,80k),0,得,k,. 5555R(x,y),k, 当时,设交点P(x,y),Q(x,y),PQ的中点为, 0011225522x,xkk502512 则x,x,x,.12022k,k,254542k,k2520 ?y,kx,k,(5)(5).0022k,k,5454又 |BP|,|BQ|,BR,l,k,k,1,BR20k2220k225k,4 k,k,k,1,20k,20k,4,BR2225k4,20k1,25k,422 而不可能成立,所以不存在直线l,使得|BP|=|BQ|.7分 20k,20k,4S(x,y),AP,(x,5,y),AQ,(x,5,y) (3)由题意有,则有方程组 111122xtx,5,(,5),(1),12,y,ty,(2)12,22,xy11 由(1)得 (5) x,t(x,5),5,,,1,(3)1254,22,xy22,,,1.(4)54,222 将(2),(5)代入(3)有4t(x,5),5,5ty,20. 2222 整理并将(4)代入得(t,1),2(1,t)tx,5(1,t),0, 2t,32t,解得x,1,. 易知 2tSB,(1,x,y),BQ,(x,1,y) 因为B(1,0),S,故,所以 (x,y)112211SB,tBQ,(1,x,y),t(x,1,y),(1,x,t(x,1),y,ty)11221212,(1,t(x,5),5,t(x,1),0),(,4,t(2x,6),0) 2226t,4,(,4,t(,6),0),(0,0),t?SB,tBQ. 22xy4. 解: (1)由题意设双曲线的标准
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