专题训练(三)平行四边形中的动态问题 班别 姓名 （教材P68习题第13题的变式与应用）【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD24 cm，BC26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开始，使PQCD，分别需经过多少时间？为什么？1如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD6，BC16，点E是BC的中点点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动点P停止运动时，点Q也随之停止运动求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形2如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB25 cm，AD8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米3如图，平行四边形ABCD中，AC6，BD8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？(2)若BCAC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长4如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD12 cm，BC18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(1)作DEBC于E，则CD边的长度为10cm；(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由备用图5如图，已知矩形ABCD，AD4，CD10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由 参考答案【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD24 cm，BC26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开始，使PQCD，分别需经过多少时间？为什么？【解答】设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，APt，CQ3t，DP24t，DPCQ.24t3t.t6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQCD，且PQCD.设经过t s时，PQCD，即四边形PQCD是等腰梯形，APt，BQ263t，t263t2，t7.综上所述当t6 s或7 s时，PQCD.【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解1如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD6，BC16，点E是BC的中点点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动点P停止运动时，点Q也随之停止运动求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形解：由题意可知，APt，CQ2t，CEBC8.ADBC，当PDEQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形当2t8，即t4时，点Q在C、E之间，如图甲此时，PDADAP6t，EQCECQ82t，由6t82t得t2.当82t16，且t6，即4t6时，点Q在B、E之间，如图乙此时，PDADAP6t，EQCQCE2t8，由6t2t8得t.当运动时间为2s或s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形图甲 图乙2如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB25 cm，AD8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQAD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，即APDQ.PQAD，四边形APQD是平行四边形APDQ.3x252x.解得x5.答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQAD.(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米，BP253a，CQ2a，根据梯形面积公式得：(253a2a)884.解得a4.答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米3如图，平行四边形ABCD中，AC6，BD8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？(2)若BCAC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长解：(1)当t7秒时，四边形BPDQ为矩形理由如下：当t7秒时，PAQC7，AC6，CPAQ1.PQBD8.四边形ABCD为平行四边形，BD8，AC6，AOCO3.BODO4.OQOP4.四边形BPDQ为平形四边形PQBD8，四边形BPDQ为矩形(2)由(1)得BO4，CQ7，BCAC，BCA90.BC2CQ2BQ2.BQ2.4如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD12 cm，BC18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(1)作DEBC于E，则CD边的长度为10cm；(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由备用图解：(2)如图1，由题意得：APt，DP12t，CQ2t，BQ182t.要使四边形PQBA是矩形，已有B90，ADBC即APBP，只需满足APBQ即t182t，解得t6，因此，当t6秒时，四边形PQBA是矩形(3)不存在，理由：如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有ADBC即DPCQ，只需满足DPCQ即12t2t，t4时，四边形PQCD是平行四边形，但DP12t810，即DPDC，按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形5如图，已知矩形ABCD，AD4，CD10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由解：(1)M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，ME是PC的中位线，NE是PD的中位线MEPC，ENPD.四边形PMEN是平行四边形(2)当AP5时，在RtPAD和RtPBC中，PADPBC(SAS)PDPC.M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，NEPMPD，MEPNPC.PMMEENPN.四边形PMEN是菱形(3)四边形PMEN可能是矩形若四边形PMEN是矩形，则DPC90.设PAx，PB10x，则DP，CP.DP2CP2DC2，即16x216(10x)2102，x210x160.解得x2或x8.故当AP2或AP8时，四边形PMEN是矩形